Cálculos de Derivadas e Integrais

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**Explicação:** A derivada de \(f(x)\) em \(x = 0\) não existe porque \(\tan(0)\) resulta em 
uma divisão por zero dentro do logaritmo. 
 
163. Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\cos^2(x)} \, dx\)? 
 a) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)\) 
 b) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right)\) 
 c) \(\ln(2)\) 
 d) \(\ln(3)\) 
 **Resposta:** b) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right)\) 
 **Explicação:** Para resolver esta integral, podemos usar a substituição direta, 
deixando \(u = \cos(x)\). 
 
164. Se \(f(x) = \tan(x) + x\), qual é o valor de \(f'(0)\)? 
 a) \(f'(0) = 0\) 
 b) \(f'(0) = 1\) 
 c) \(f'(0) = -1\) 
 d) \(f'(0)\) não existe 
 **Resposta:** b) \(f'(0) = 1\) 
 **Explicação:** A derivada de \(f(x)\) em \(x = 0\) é \(f'(0) = \sec^2(0) + 1 = 2\). 
 
165. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada do tipo \(\frac{\infty}{\infty}\). 
Utilizando a definição de seno, temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{2\sin(x)}{x} = 1\). 
 
166. Se \(f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)}\), qual é o valor de \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)\)? 
 a) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) 
 b) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)