matematica universitaria (18)

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a) 0 
 b) 5 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 5 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\sin(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{5\cos(5x)}{1} = \frac{5\cos(0)}{1} = 5 \). 
 
192. Se \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \), qual é o valor de \( f'(8) \)? 
 a) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{4}} \) 
 b) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{2}} \) 
 c) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \) 
 d) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{2}} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \sqrt[3]{x^2} \) em relação a \( x \) é \( 
\frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}} \). Substituindo \( x = 8 \), temos \( f'(8) = \frac{2 \cdot 
8}{3\sqrt[3]{8^4}} = \frac{16}{3\sqrt[3]{4096}} = \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \). 
 
193. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan(x) \, dx \)? 
 a) \( \ln(\frac{\pi}{6}) \) 
 b) \( \ln(\sqrt{3}) \) 
 c) \( \ln(3) \) 
 d) \( \ln(2) \) 
 **Resposta:** b) \( \ln(\sqrt{3}) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{6} \) é \( -\ln|\cos(x)| \). 
Avaliando em \( \frac{\pi}{6} \) e \( 0 \), temos \( -\ln|\cos(\frac{\pi}{6})| - (-\ln|\cos(0)|) = -
\ln(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \ln(\sqrt{3}) \). 
 
194. Se \( \log_9(y) = 2 \), 
 
 qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 729 \)