matematica avançada segundo grau (116)

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**Explicação:** Escrevendo \(512\) como \(8^3\), obtemos \(8^x = 8^3\), então \(x = 3\). 
 
147. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos(x) \, dx \)? 
 a) \(0\) 
 b) \(e^{\pi}\) 
 c) \(e^{2\pi}\) 
 d) \(e^{3\pi}\) 
 **Resposta: b) \(e^{\pi}\)** 
 **Explicação:** A integral de \( e^{x} \cos(x) \) de \(0\) a \( \pi \) pode ser resolvida 
usando integração por partes, resultando em \( e^{\pi} \). 
 
148. Qual 
 
 é a derivada de \( y = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)? 
 a) \( -\frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 b) \( -\frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 c) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 d) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin^2(x)} \)** 
 **Explicação:** Utilizando a regra do quociente e a regra da cadeia, a derivada de \( 
\frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) é \( -\frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin^2(x)} \). 
 
149. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} \)? 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\infty\) 
 d) \(\frac{\infty}{\infty}\) 
 **Resposta: b) \(1\)** 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental que tende a \(0\) à medida que \(x\) se 
aproxima de \(0\). 
 
150. Qual é a solução para a equação \( e^{5x} = 125 \)?