Atividade 02 A2 Cálculo Aplicado

Prévia do material em texto

VALTER 
SANTOS SA 
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
GR0551211 - 202110.ead-14901.01 
Teste ATIVIDADE 2 (A2) 
Iniciado 07/03/21 16:51 
Enviado 07/03/21 18:13 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 1 hora, 22 minutos 
Resultados 
exibidos 
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
 Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de 
duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser 
dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao 
plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para 
determinar o domínio da função precisamos verificar se não há 
restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
O domínio da função é o conjunto . 
Resposta Correta: 
O domínio da função é o conjunto . 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as 
seguintes restrições para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto 
é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto 
é, 
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta 
em . Logo, . 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em 
cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada 
regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar 
quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a 
variável dependente. Sabemos que podemos escrever . 
Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As variáveis e são as variáveis 
independentes. 
Resposta Correta: 
As variáveis e são as variáveis 
independentes. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a 
variável depende das variáveis e , pois . 
No entanto, as variáveis e dependem das 
variáveis e e essas últimas não possuem 
dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, 
concluímos que as variáveis e são as variáveis 
independentes. 
 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as 
variáveis e são funções das variáveis e , isto 
é, e . A derivada da função com relação à variável é 
obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada 
 
de com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada 
da função com relação às variáveis e , sabendo 
que e . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 e 
Resposta Correta: 
 e 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra 
da cadeia, temos que a derivada parcial de com 
relação a é: . Já a derivada parcial de com 
relação a é: . 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de 
temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando 
essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere 
um gás com o volume de sob uma pressão de . O volume está 
aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa 
de por segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura 
considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por 
segundo no instante dado. 
Resposta Correta: 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por 
segundo no instante dado. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos 
gases ideais , onde , temos . Pelas informações 
do enunciado, temos , , e . Derivando a 
função com relação ao tempo , pela regra da 
cadeia, temos: , onde e . Assim, . 
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa 
de por segundo no instante dado. 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
 O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, 
isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um 
ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio 
da seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da 
função no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, 
vamos calcular as derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é 
vista como constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é 
vista como constante): . 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto , 
temos e . Logo, o vetor gradiente é . 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , 
enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o 
domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há 
restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, apenas. 
Resposta Correta: 
I, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as 
restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é 
verdadeira, pois: 
 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes 
restrições e , portanto, o domínio da função é o 
conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem 
trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. 
Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os 
valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de 
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não 
zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto . 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, IV 
Resposta Correta: 
I, IV 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as 
restrições de cada função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o 
conjunto . 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o 
conjunto . 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um 
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro 
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o 
comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do 
espaço . 
Resposta Correta: 
Uma curva de nível é um subconjunto do 
espaço . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de 
uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do 
espaço , para poder visualizar uma representação 
geométrica da função no plano recorremos ao uso das 
curvas de nível, que são curvas planas do plano . 
Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano 
. Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal 
que . No entanto, e são funções de expressas 
por e . Para se obter a derivada de com relação a 
variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde 
à derivada de em relação a , isto é, , para quando . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da 
cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado 
que , temos . 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma 
constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar 
geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Resposta Correta: 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição 
de curva de nível, temos que . Assim, igualando a 
função ao valor de , temos que . Portanto, a curva 
de nível da função para é dada pela equação .