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1ºAula Teoria dos Conjuntos Objetivos de aprendizagem ao término desta aula, vocês serão capazes de: • entender a teoria dos conjuntos; • conhecer a importância da teoria dos conjuntos na matemática no que tange aos principais conceitos em questão. Já estudaram Conjuntos Numéricos?! intuitivamente, aprendemos por conjunto uma lista ou coleção de objetos, pessoas ou números. Então, dizemos que esses objetos, pessoas ou números são elementos desses conjuntos. São esses conceitos que iremos apresentar nesta aula. O objetivo dessa aula é estudar a teoria dos conjuntos, mostrando sua importância na matemática e apresentando os principais conceitos em questão. Vamos apresentar os conjuntos numéricos, analisando o surgimento de cada um deles por seus diferentes contextos. também identificaremos todos os conjuntos numéricos e seus elementos. Bons estudos! 6Matemática e Estatística para computação 1 – Conjuntos numéricos 2 – Particularidades de Conjuntos 3 – Operações de conjuntos numéricos 4 – união de Conjuntos 5 – intersecção de Conjuntos 6 – Diferença de Conjuntos 1 - conjuntos numéricos Conjuntos numéricos são agrupamentos de números que têm características semelhantes. Vocês já estudaram todos eles. Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. No conjunto numérico, de 0 a 9, podemos dizer que temos os elementos pares (0, 2, 4, 6, 8) e elementos ímpares (1, 3, 5, 7, 9). Então, podemos representá-los por meio de uma letra maiúscula, da seguinte forma: Conjunto dos elementos pares a = {0, 2, 4, 6, 8} Conjunto dos elementos ímpares B = {1, 3, 5, 7, 9} a representação em extensão pode ser usada para conjuntos infinitos (sem determinar uma quantidade de elementos) ou finitos (quantidade determinada de elementos). Dessa forma, podemos representar da seguinte maneira: Conjunto dos elementos pares positivos a = {0, 2, 4, 6, 8, ...} conjunto infinito Conjunto dos elementos ímpares menores que 198 B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 197} É possível a representação desses números por meio de uma figura, conhecida por diagrama de Venn: Conjunto V: contém elementos que são as vogais do alfabeto Fonte: autoria própria. Seções de estudo agora vamos relembrar os elementos dos Conjuntos... Conjunto dos Números Naturais O conjunto dos Números Naturais é o primeiro deles. Surgiu da simples necessidade de se fazer contagens. Ele é composto de elementos que são apenas os números inteiros e positivos. É representado pela letra N. O conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} Observe que ele inicia do 0 e vai até o infinito, somente com valores inteiros e positivos. Possui, também, a representação N*. O * (asterisco), que significa a exclusão do valor 0 (zero) no conjunto. Fica da seguinte maneira: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} Podemos representar, também, pelo diagrama de Venn. Fonte: autoria própria. Lembraram?! Vamos relembrar os demais? Conjunto dos Números Inteiros O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais, pois é formado pela união do conjunto dos números naturais, inteiros positivos, com os números negativos e o zero. Esse conjunto é representado pela letra Z. assim, o conjunto dos números inteiros possui os seguintes elementos: Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Da mesma forma que o conjunto N, ele tem a possibilidade de ter a representação Z*, o que significa, também, a exclusão do 0... Z* = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, …} 7 Mas, fora isso, também temos Z_, onde excluímos os positivos. Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} E, também, Z*_, onde há a exclusão do zero e dos positivos. Z*_ = {..., -3, -2, -1} Da mesma forma, temos Z+, onde há a exclusão dos negativos. Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} E Z*+, que exclui o zero e os negativos... Z* + = {1, 2, 3, 4,...} Nesse conjunto, teremos a seguinte representação pelo diagrama de Venn Fonte: autoria própria. acredito que essa revisão esteja sendo muito fácil, e que vocês estão conseguindo relembrar de todo o conteúdo já aprendido anteriormente. Desse modo, podemos verificar os demais. Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais surgiu da necessidade de dividir, de particionar quantidades. assim sendo, foi criado o conjunto dos números racionais que podem ser escritos na forma de fração. É representado pela letra Q e possui os seguintes elementos: Mas o que significa isso? Que números são esses? Percebam que sempre é uma fração. O valor de x é sempre representado por um valor de a dividido por um valor de B, sendo que o valor de a pode ser qualquer número inteiro, positivo ou negativo, e o valor de B somente valores positivos. Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número racional. Obedecendo ao critério acima citado, vejamos quais números pertencem a esse conjunto: 1. todos os números inteiros; (positivos, negativos e o zero); 2. Decimais finitos. Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Observem: 10,1 12,32 54,45 3. Dízimas periódicas. Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. Observe: 21,333333.... 84,45454545.... 116,758975897589.... E no Diagrama de Venn? Como ficaria? Fonte: autoria própria. Legal! Seriam todos esses números, então. Mas, se existem os racionais, então, estudamos também os irracionais, é isso?! Vamos conferir? Conjunto dos Números Irracionais O conjunto dos números irracionais depende dos racionais, ou seja, o que não for racional, será irracional. Portanto, pertencem ao conjunto dos números irracionais todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais. Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Outra forma de definir o conjunto dos números irracionais é verificando que os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. Veja a seguir quem são eles: 1. Decimais infinitos Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas periódicas. 0,12345678910111213... π 2. Raízes não exatas √2 √15 Fácil, não?! Então vamos ver o último deles. Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais é formado por todos os conjuntos citados anteriormente: N, Z, R e i. Sua definição é 8Matemática e Estatística para computação dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É representado por R. Não podemos esquecer que todos eles, com exceção dos N, possuem valores positivos e negativos e que podemos excluir esses valores por meio das simbologias já estudadas _ ou + ao lado da letra que representa o conjunto. E, se quisermos excluir o zero, basta colocar o *. Vejam a ilustração abaixo. Observem como se portam os números dentro de cada conjunto e quem é subconjunto de quem. Fonte: autoria própria. Relação entre conjuntos numéricos alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. 1 – O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros; 2 – O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais; 3 – O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 4 – O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 5 – O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento em comum; 6 – O conjunto dos números reais é a totalização de todos os anteriores, conforme figura exposta. Fonte: autoria própria. Voltando no exemplo do conjunto dos números pares, representado pelo diagrama de Venn, teremos a ilustração a seguir: Fonte: autoria própria. Observe que o conjunto possui 4 elementos e podemos indicar por: n(P) =4, onde podemos ler da seguinte forma: o número de elementos de P é igual a 4. Podemos representar, também, da seguinte forma: P = {x | x é um número par menor que 7} e lemos da seguinte forma: Conjunto P é igual a x, tal que x é um número par menor que 7. acredito que conseguiram aprender e relembrar várias coisas até aqui. Então, vamos dar prosseguimento no nosso conteúdo apresentando mais algumas particularidades dos conjuntos. 2 - particularidades de conjuntos Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Se dois conjuntos a e B são iguais, indicamos por a = B. Fonte: autoria própria. A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é diferente de B) e significa que um desses conjuntos possui algum ou vários elementos que não pertence ao outro conjunto. Fonte: autoria própria. 9 Mas como dizer, simbolicamente, que um elemento pertence ao conjunto? Para indicar que um elemento pertence a um determinado conjunto usamos o símbolo (pertence) e, para indicar que não pertence, usamos o símbolo (não pertence). Dessa forma, observe os elementos dos conjuntos a e B que foram ilustrados acima... Podemos afirmar que: 3 a (3 pertence ao conjunto a) 1 B (1 não pertence ao conjunto B) Conjunto Universo Em inúmeras situações deveremos saber quem é o conjunto universo u ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos considerados. Por exemplo: Fonte: <https://conjuntosblogblog.wordpress.com/conjunto-universo/>. acesso em: 18 set. 2017. Observem a figura. Vejam que temos o conjunto a formado por homens e o conjunto B por mulheres. Meu conjunto uNiVERSO, nesse caso, são de seres humanos. Conjunto Unitário Como o próprio nome já diz, conjunto unitário é aquele que possui um único elemento. Considerem, por exemplo, o conjunto a = {x | x é um número primo par e positivo}. Vejam que para atender esses requisitos só temos um valor, portanto, a = {2}. Fonte: autoria própria. Conjunto Vazio Fonte: <https://www.gcfaprendelivre.org/matematica/curso/os_conjuntos_ matematicos/entender_os_conjuntos/3.do>. acesso em: 18 set. 2017. Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento. Por exemplo: seja a o conjunto dos números primos pares menores que 2. Vejam que nesse caso não há elementos para compor o conjunto, uma vez que não existe número primo par menor que 2. assim sendo, podemos representar esse conjunto por { } ou Ø. Subconjuntos O que seria um subconjunto? Subconjunto é um conjunto cujos elementos pertencem a outro conjunto; conjunto que está contido em outro. Observem a figura a seguir. Podemos afirmar que: C é subconjunto de B e de a e B é subconjunto de a. Então, nesse caso, dizemos que C está contido em B e a; e que B está contido em a. Fonte: <https://www.rankia.com/blog/etfs-pm/3216063-probabilidad-no-esta- favor-fondos-gestion-activa>. acesso em: 18 set. 2017. representamos essas frases em: C ∩ B (C está contido em B) C ∩ a (C está contido em a) B ∩ C (B não está contido em C) a ∩ B (a contém B) Veja outro exemplo a seguir: Fonte: autoria própria. Observe que temos os conjuntos a e B. a = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {3, 4, 5} Notem que qualquer elemento de B também pertence ao conjunto a. Por isso podemos dizer que: B ∩ (está contido em) a ou a ∩ (contém) B. 10Matemática e Estatística para computação Mas pode acontecer de existir ao menos um elemento de B que não pertença a a. Dessa forma, dizemos que a não contém B ou B não está contido em a, conforme é apresentado na figura a seguir: Fonte: autoria própria. Vejam que, nesse caso, o conjunto B possui dois elementos que não existem em a: 6 e 7. Dessa forma, B não está contido em a (B ∩ a) ou a não contém B (a ∩ B). Concluímos que: um conjunto B é subconjunto de outro conjunto A quando qualquer elemento de B também pertence a A. algumas observações importantes: 1. Se a ∩ B e B ∩ a, então a = B. 2. Os símbolos ∩ , ∩, ∩ e ∩ são utilizados para relacionar conjuntos. 3. Para todo conjunto a, tem-se a ∩ a. 4. Para todo conjunto a, tem-se Ø ∩ a, onde Ø representa o conjunto vazio. 5. Os símbolos , são utilizados somente de elemento para conjunto. 3- operações de conjuntos numéricos as operações com conjuntos envolvem a união, intersecção e diferença entre conjuntos. Lembrem-se que na matemática, os conjuntos representam a reunião de diversos elementos. Eles envolvem os diversos conjuntos numéricos formados pelos: • Números Naturais (N) • Números inteiros (Z) • Números Racionais (Q) • Números irracionais (i) • Números Reais (R) 4- união de conjuntos a união dos conjuntos corresponde à união dos elementos de dois conjuntos. Ela é representada pelo símbolo U. Fonte: autoria própria. Exemplo: a = {c, a, r, e, t} B = {a, e, i, o, u} C = {c, a, r, e, t, a, e, i, o, u} No entanto, as repetições são eliminadas. Logo, C = {c, a, r, e, t, i, o, u} a união dos dois conjuntos é representada: A U B (a união de B), sendo o conjunto C a reunião de a e B. Podemos verificar em um outro exemplo a operação de adição, ou seja, de união desses conjuntos. Sejam os conjuntos a = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a a ou a B, ou a ambos. Dessa forma, teremos: C = {0, 1, 2, 3, 4, 6} Podemos representar pela seguinte simbologia: C = A U B Vejam que, nesse exemplo, os valores repetidos foram excluídos deixando apenas um deles para compor o novo conjunto a u B. Considerando os conjuntos a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}, temos que: a u B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Veremos a seguir um pouco mais de exemplos de união de conjuntos. aqui, o exemplo me mostra que podemos ter a união de dois conjuntos, resultando o maior conjunto deles. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} a união desses conjuntos é: a u B = {1, 2, 3, 4, 5}. Nesse caso, podemos dizer que: A U B = B. E, para finalizar essa operação, podem existir conjuntos onde os números não vem de uma forma explícita, mas subentendida por meio de inequação, onde terá que analisar, previamente, quais valores compõem o conjunto em questão. Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1, 2, 3, 4} a união desses dois conjuntos é : Bom, vamos trabalhar por partes. Primeiro iremos identificar quais valores pertencem ao conjunto a. Conforme está descrito no conjunto a, os elementos que pertencem a ele devem ser maiores que -1 e menores que 2, dessa forma: a = {0, 1} Depois de identificado os elementos de a, faremos a união com B e teremos o seguinte resultado... a u B = {0, 1, 2, 3, 4} Viram como é fácil?! agora que já entenderam a operação de união, u, vamos estudar a intersecção entre eles. 11 5- intersecção de conjuntos a intersecção dos conjuntos corresponde aos elementos em comum de dois conjuntos. Ela é representada pelo símbolo ∩. Fonte: autoria própria. Exemplo: a = {c, a, r, e, t } B = {a, e, i, o, u} C = {a, e} indicado por A ∩ B (a intersecção de B) temos que o conjunto C é a interseção entre eles. Fonte: autoria própria. Exemplo de interseção de conjuntos Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. Vejamos mais alguns exemplos. Dados dois conjuntos A = {5, 6, 9, 8} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, se pedimos a interseção deles teremos: A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5. Fonte: autoria própria. Dados dois conjuntos A e B, a intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. De uma forma mais simples, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Seja a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}, temos que: A ∩ B = {9, 11} a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e C = {2, 4, 6, 8, 10} A ∩ C = ø, pois os dois conjuntos não apresentam elementos em comum. a operação de intersecção apresenta algumas propriedades: a)Propriedade reflexiva. A ∩ A = A b) Propriedade comutativa. A ∩ B = B ∩ A c) Propriedade associativa. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C d) Propriedade distributiva. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) graficamente, utilizando os diagramas de Venn, podemos representar a operação de intersecção da seguinte forma: Fonte: autoria própria. Dessa forma, podemos concluir que, a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também a B. Dados os conjuntos D = {1, 2, 3, 4, 5} e E = {3, 4, 5}, a interseção dos conjuntos ficaria assim: E ∩ D = {3, 4, 5} ou E ∩ D = E. Pode-se concluir também que: E ∩ D. Fonte: autoria própria. ah, mas ainda existe um último exemplo para a intersecção. Obs: quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos que a intersecção entre 12Matemática e Estatística para computação eles é um conjunto vazio. Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø. Fonte: autoria própria. Ou, ainda... Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles, teremos: B ∩ C = { } ou B ∩ C = Ø . Então, B e C são conjuntos distintos. Fonte: autoria própria. aprenderam? Simples não é? agora vejamos a diferença de conjuntos... 6- Diferença de conjuntos Na diferença de conjuntos temos dois conjuntos cujos elementos do primeiro não aparecem no segundo. Fonte: autoria própria. Quando dizemos a – B, estamos tirando os elementos de a que aparecem em B... Dados dois conjuntos a e B, a diferença entre a e B é o conjunto formado pelos elementos de a que não pertencem a B. Por exemplo: Dados os conjuntos a e B, a diferença entre eles é representada pela expressão A – B: a= {a, b, c, d, e, f} – B = {d, e, f, g, h} a – B = {a, b, c} temos como fazer a – B e B – a. Claro que os resultados sempre serão diferentes... Preste atenção... a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12} a – B = {1, 3, 5, 7} Nesse exemplo, estou retirando de a os valores que aparecem repetidos em B. B – a = {8, 10, 12} Nesse outro exemplo, estou retirando de B os valores que aparecem repetidos em a. Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por a – B. Vejamos o exemplo a seguir. A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} a diferença dos conjuntos é: a – B = {1, 2}, ou seja, retiramos os elementos 3, 4 e 5 que eram valores semelhantes que tinham no conjunto B e, também, em a. Fonte: autoria própria. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}, a diferença dos conjuntos é: a – B = {1, 2, 3, 4}. Como B ∩ a podemos escrever em forma de complementar: a – B = a B = {1, 2, 3, 4} Para essa representação podemos ler da seguinte forma: o complementar de B com relação a A. Essa operação é um caso particular de diferença entre conjuntos. Considere dois conjuntos, a e B, sendo que B está contido em a, ou seja, B é um subconjunto de a. O complementar de B em relação a a, representado por CaB, é a diferença a – B. 13 Difícil?! Digamos que um pouco diferente do que estávamos vendo até agora, mas para fixar, vamos ver mais um exemplo. Sejam a = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e B = {4, 8, 12}, temos que: CaB = a – B = {2, 6, 10, 14} Essas foram as operações de conjunto que precisávamos estudar. agora vamos ver um pouquinho desses conjuntos na resolução de problemas, utilizando os conceitos das operações desta aula. Na cidade de Maria Cecília, são comercializados dois tipos de software: C e B, sendo C um tipo de software comercial e B um tipo de banco de dados. Foi feita uma pesquisa de mercado sobre a comercialização desses softwares e obtiveram as seguintes informações: Software c B c e B Nenhum dos dois público 210 180 50 40 Dessa forma, pergunta-se: quantas pessoas foram entrevistadas? Vejam que os dados foram apresentados na tabela . Vocês precisam colocar nos diagramas de Venn para que possam ser identificados os conjuntos e resolvido a questão. Vejam que é importante levantar alguns pontos chave. Em primeiro lugar, vamos considerar os conjuntos a e B que correspondem ao público dos softwares C e B, respectivamente, e fazer um diagrama, apresentado na figura abaixo. Em seguida, colocamos 50 na intersecção (parte em comum dos dois conjuntos) de a e B, pois 50 pessoas obtiveram os dois softwares. 50 Fonte: autoria própria. Depois, colocamos 210 – 50, ou seja, 160 pessoas somente em a. Observem que o conjunto a tem 160 + 50 = 210 pessoas. 50 160 Fonte: autoria própria. Em seguida, colocamos 180 – 50, ou seja, 130 pessoas somente em B. Veja que em B há 50 + 130 = 180 pessoas. Por último, colocamos 40 pessoas fora de a e B, pois elas não adquiriram nenhum dos dois softwares. 50 160 130 Fonte: autoria própria. Para concluir quantas pessoas foram entrevistadas, vamos adicionar os números marcados no diagrama: 160 + 50 + 130 + 40 = 380 pessoas. Entenderam?! Vejamos agora um exemplo um pouco mais complexo. No curso de Engenharia de Software existem 630 acadêmicos. 350 deles estudam Programação, 210 estudam Estrutura de Dados e 90 estudam as duas disciplinas (Programação e Estrutura de Dados). Pergunta-se: a) Quantos acadêmicos estudam apenas Programação? (Estudam Programação, mas não estudam Estrutura de Dados); b) Quantos acadêmicos estudam apenas Estrutura de Dados? (Estudam Estrutura de Dados, mas não estudam Programação); c) Quantos acadêmicos estudam Programação ou Estrutura de Dados? d) Quantos acadêmicos não estudam nenhuma das duas disciplinas? Vejam o esboço a seguir. 90350 - 90 260 } 210 - 90 120 } 630 - 470 160 }U P E Fonte: autoria própria. Pelo diagrama, temos: a) Se 350 acadêmicos estudam Programação e 90 deles estudam Programação e Estrutura de Dados, então, o número de acadêmicos que estudam apenas Programação é: 350 – 90 = 260. b) Se 210 acadêmicos estudam Estrutura de Dados e 90 deles estudam Programação e Estrutura de Dados, então, o número de acadêmicos que estudam apenas Estrutura de Dados é: 210 - 90 = 120. 14Matemática e Estatística para computação c) Se 260 acadêmicos estudam apenas Programação, 120 apenas Espanhol e 90 essas duas disciplinas, então o número de acadêmicos que estudam Programação ou Espanhol é: 260 + 90 + 120 = 470. d) Se o curso de Engenharia de Software tem 630 acadêmicos, dos quais 470 estudam Programação ou Estrutura de Dados, o número de acadêmicos que não estudam nenhuma dessas duas disciplinas é: 630 – 470 = 160. Viram com não é difícil? Podemos agora partir para um exemplo com três conjuntos. uma população compram três marcas de notebooks: a, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram- se os resultados tabelados abaixo. Determine o número de pessoas consultadas. Percebam que para iniciar a resolução desse problema por diagrama de Venn, começamos sempre pela intersecção dos três conjuntos. Fonte: autoria própria. Dessa forma, conseguimos obter os seguintes resultados. 05 pessoas consomem a, B e C Então, partimos para as intersecções de dois em dois conjuntos. 20 pessoas consomem a e B (considerando ainda as 5 pessoas que consomem as três marcas, resultando o total de 25 (20 + 5) conforme a tabela). 20 pessoas consomem a e C (considerando ainda as 5 pessoas que consomem as três marcas, resultando o total de 25 (20 + 5) conforme a tabela). 35 pessoas consomem B e C (considerando ainda as 5 pessoas que consomem as três marcas, resultando o total de 40 (35 + 5) conforme a tabela). E, por último, cada marca, separadamente. 60 pessoas consomem somente a 140 pessoas consomem somente B 100 pessoas consomem somente C Não podemos nos esquecer daquelas que não compraram nenhuma das três marcas. 120 pessoas: nenhuma das marcas aí, temos como resultado final. O total de pessoas entrevistadas foi: 60+ 140 + 100 + 20 + 20 + 35 + 05 + 120 = 500. terminamos o conteúdo dessa aula por aqui. agora é só praticar. antes de encerrar a aula 01, é importante que retomemos os conteúdos estudados: Retomando a aula 1 – Conjuntos numéricos aprendemos os conceitos e elementos que pertencem a cada um dos conjuntos apresentados. Observamos que, são muito simples e tem um papel fundamental na Matemática. a partir dos conceitos apresentados sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos. 2 – Particularidade de Conjuntos a seção disponibilizou detalhes dos conjuntos e suas particularidades. Cada conjunto numérico têm propriedades únicas que os diferenciam de outros conjuntos de números. Dessa forma, foram apresentados os conceitos de subconjuntos e a forma que podemos relacionar cada um deles. 3 – Operações de Conjuntos numéricos Foram apresentados os conjuntos numéricos e suas operações. Para cada conjunto sua particularidade existente e quais elementos existem em cada um deles. 4 – União de Conjuntos aqui, exemplificamos a forma que a união de conjuntos é efetuada. apresentamos vamos exemplos que demonstram a operação de união. 5 – Intersecção de Conjuntos apresentamos os conceitos e exemplos de intersecção dos conjuntos numéricos e suas particularidades. Os exemplos demonstrados na aula representam um retrato da operação e como se porta diante de dois conjuntos. 15 6 – Diferença de Conjuntos aqui, colocamos os principais itens necessários para que a operação de diferença entre conjuntos possa ser executada. Vejam que, nessa seção, as particularidades requerem um pouco mais de cuidado quando da execução da operação. Só matemática. Disponível em: www.somatematica. com.br. acesso em: 10 jul. 2017. Vale a pena acessar BONEttO, g. a. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning, 2016. gENtiL, N.; SaNtOS, C. a. M. dos; gRECO, S. E. Matemática. Volume único. Série Novo Ensino Médio. Ed. Reformulada. São Paulo: Ática, 2003. Vale a pena ler Vale a pena Minhas anotações