Linguagem de Conjuntos

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CÁLCULO APLICADO A NEGÓCIOS
SEMANA 1 - VOCÊ CONHECE A LINGUAGEM 
DE CONJUNTOS?
Rodolfo Coelho Prates
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Sumário
• 1 Noções de Teoria dos Conjuntos e Extensões
• 1.1 Conjuntos e Definições
• 1.2 Operações de Conjuntos
• 1.3 Propriedades
• Concluindo
Introdução
Você já deve ter percebido que empresas, de forma geral, têm a responsabilidade de tomar decisões assertivas
frequentemente em suas operações. Caso as decisões sejam equivocadas, essas empresas podem ter prejuízos,
como perder competitividade ou, até mesmo, encerrar suas atividades. Desse modo, é muito importante que as
decisões sejam tecnicamente embasadas. Nesse contexto, a Matemática é a área capaz de fornecer um rico
repertório para a tomada de decisões, uma vez que possibilita uma melhor compreensão dos fenômenos e de
seus respectivos impactos.
Inúmeras são as situações em que a Matemática é fundamental para uma empresa: para calcular o custo de uma
produção; para determinar o preço de um produto; para calcular as estimativas de lucro; para analisar as
condições financeiras do empreendimento, entre outras circunstâncias. Contudo, não basta saber o custo de
produção, é preciso compreender em quais condições o custo é mínimo. Do mesmo modo, não basta ter lucro, é
essencial adotar medidas específicas para que o lucro seja o mais elevado possível. E é justamente nesse
contexto que a Matemática se aplica aos negócios.
Assim, nesta primeira aula, antes de abordarmos assuntos mais complexos que relacionam a Matemática com as
tomadas de decisões das empresas, estudaremos um conceito fundamental da Matemática: a Linguagem de
. Como veremos a seguir, tal linguagem é utilizada em diversos contextos, como na segmentação deConjuntos
mercado e no cálculo da inflação.
Vamos começar?
1 Noções de Teoria dos Conjuntos e Extensões
A Teoria dos Conjuntos abrange diferentes aspectos. Por isso, nesta primeira aula, exploraremos suas definições,
tratando das principais operações que são possíveis de realizar com os conjuntos.
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1.1 Conjuntos e Definições
Um é caracterizado por uma lista, uma coleção ou uma relação de objetos de qualquer natureza, taisconjunto
como cidades, oceanos, automóveis, jogos de videogame, contatos em redes sociais, entre outras. No entanto, na
Matemática, o conjunto mais comum é o conjunto de . Independentemente da natureza, todos osnúmeros
objetos que pertencem ao conjunto são chamados de .elementos
De maneira geral, vejamos a seguir alguns exemplos de conjuntos:
As capitais dos estados do Brasil.
Os alunos do cursos de negócios de uma determinada universidade.
Os números reais.
As soluções da equação .
Os bens consumidos por uma família ao longo de um mês.
Os valores da remuneração mensal de todos os funcionários de uma empresa.
Notem que esses exemplos incluem cidades, nomes de pessoas, valores monetários e números. Portanto, é
possível observar que qualquer coisa pode ser incluída em um conjunto.
Contudo, uma vez que a Matemática se dedica aos números e às operações numéricas, vamos dar ênfase ao
estudo dos números.
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Agora que sabemos o que é um conjunto, vamos agora para algumas definições importantes. A primeira delas é a 
.representação
Normalmente os conjuntos são representados por letras maiúsculas do nosso próprio alfabeto:
Já os de um conjunto são representados por letras minúsculas também do nosso alfabeto:elementos
Quando um determinado elemento, chamado genericamente de , pertence a um conjunto representado por ,
temos:
O entendimento que podemos ter dessa declaração é: “o elemento pertence ao conjunto ”. Quando , isso
significa que não é um elemento do conjunto .
Vejamos, por exemplo, a relação de pertencimento a um determinado conjunto. Seja então o definidoconjunto 
pelas capitais do Brasil, temos:
São Paulo 
Florianópolis 
Campinas 
Ou seja, São Paulo e Florianópolis pertencem ao conjunto das capitais dos estados brasileiros, mas Campinas não.
Vejamos outro exemplo:
Seja (lê-se: , tal que é par), isso significa que o conjunto é formado por todos os números
pares. Portanto, e .
Há também formas mais complexas para se definir a relação de pertencimento de um conjunto, como a cesta de
bens que um determinado agente consome dada a sua renda: 
Nesse caso, é o i-ésimo bem; é o preço do i-ésimo bem; e é a renda disponível. A interpretação desse 
conjunto é mais complexa, mas quer dizer que esse agente consumirá uma determinada quantidade de bens, de
forma que o gasto com tais bens nunca ultrapasse a sua renda disponível.
Um segundo conceito importante no estudo de conjunto é o conceito de entre dois ou mais conjuntos.igualdade
Dizemos que um conjunto é igual a um outro conjunto se ambos possuem os mesmos elementos.
Se temos e por exemplo, os elementos de são os mesmos de e, portanto, é , 
possível indicar que O conjunto , por sua vez, também possui os mesmos elementos.
que os conjuntos anteriores e, dessa forma, . Percebam, então, que a ordem em que os elementos
aparecem dentro do conjunto não importa.
Agora suponha um outro conjunto: Nesse caso,como isso implica que. , .
Na matemática é incomum definir todos os elementos de um conjunto, como foi feito nos conjuntos A, B e C.
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É mais comum representarmos o conjunto X por meio de uma determinada propriedade P.
Dessa forma, temos X = { x : x goza da propriedade P}.
Por exemplo, seja , isso significa que todos os números naturais maiores que 10 pertecem ao
conjunto, ou seja, 
Há inúmeras maneiras de representar os conjuntos de acordo com suas propriedades. Vejamos um exemplo:
A diferença entre os conjuntos e é que no primeiro temos clareza de todos os elementos que pertencem a
ele, e podemos até relacioná-los. No segundo, no entanto, essa é uma tarefa impossível, pois há infinitos números
no conjunto . Mesmo assim, podemos ter certeza se um número qualquer pertence ou não ao conjunto .
Avançando ainda mais sobre os conceitos fundamentais de conjuntos, um conjunto particularmente importante
é o chamado , ou , representado por . O conjunto vazio não contém elementos. conjunto vazio nulo
Exemplo
Se representa o conjunto dos números reais, podemos construir inúmeros conjuntos apenas
descrevendo a sua propriedade, como em:
A declaração está dizendo que os elementos que constituem o conjunto são todos os
números reais, de forma que, quando elevados ao quadrado, tornam-se quatro. Portanto,
sabemos que há apenas duas possibilidade, que são os números e o seu simétrico .
Uma outra possibilidade de construir os conjuntos é:
Nesse conjunto, os elementos são todos os números reais maiores que zero e menores que dez.
Fique ligado
Perceba que, no caso dos conjuntos e não há uma descrição direta dos elementos do
conjunto, mas sim das propriedades que definem tais conjuntos.
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Como exemplo, vamos considerar os três conjuntos a seguir:
;
;
.
Todos os conjuntos são diferentes entre si. Vejamos o porquê:
 - representa o conjunto vazio, pois não contém nenhum elemento;
 - representa o conjunto que não é vazio, pois existe um elemento dentro dele, o elemento zero;
- representa o conjunto que não é vazio, pois dentro dele há o conjunto nulo.
Vale ressaltar que o conjunto vazio está presente em todos os conjuntos, ou seja, ele é um subconjunto.
Quando cada elemento de um conjunto é também elemento de um outro conjunto, dizemos que esse primeiro
conjunto é um subconjunto do segundo. Por exemplo, seja e todos os elementos de ,
fazem parte do conjunto e, dessa forma, é um subconjunto de . Essa relação é escrita desta forma: ,
que também pode ser entendida como “ está inserido em ”. Na figura, a seguir, podemos visualizar quando
um conjunto está contido em outro conjunto. Observe:
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Os conjuntos e , como definidos anteriormente, implicam que e e, portanto, . Isso significa
que, se um conjunto está contido em um segundo conjunto, que, por sua vez, também está contido no primeiro,
ambos os conjuntos são iguais.Uma noção igualmente importante é a de que qualquer conjunto é um subconjunto de si mesmo, ou seja, .
Fique ligado
Quando um conjunto não está contido em um outro conjunto, dizemos que .
Fique ligado
Um subconjunto próprio ocorre quando e . Isso significa que todos os elementos
do conjunto são elementos do conjunto , mas também significa que há pelo menos um
elemento em que não está em .
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Vamos, agora, assistir a um vídeo a respeito dos pontos essenciais sobre conjuntos que estudamos até aqui. Liga
o som!
https://www.youtube.com/embed/J8hDPwVt3zs
É importante destacar que todos os conjuntos são subconjuntos de um determinado conjunto, que é denominado 
, representado por Podemos entender que o conjunto universo é uma espécie de referênciaconjunto universo
na qual todos os demais conjuntos estão inseridos.
Podemos amplicar a ideia de subconjunto para um número maior de situações. Se é um subconjunto de , que,
por sua vez, é um subconjunto de , então é um subconjunto de . Em outras palavras:
Se e , então .
Dado um elemento , como , , e como , , consequentemente, . Uma situação mais
complexa de subconjunto, mas que apresenta as mesmas características definidas anteriormente, pode ser
observada na figura a seguir:
Com base nessa figura, podemos perceber que , ou seja, é um subconjunto de , que, por sua e 
vez, é um subconjunto de . Além disso, é um subconjunto de .
https://www.youtube.com/embed/J8hDPwVt3zs
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Um outro conceito importante é o de . Define-se uma família de conjuntos quando todos osfamília de conjuntos
seus elementos são conjuntos. Por exemplo, podemos observar que o conjunto é uma família de conjuntos,
pois todos os seus elementos são conjuntos:
Utilizando o conceito de família de conjuntos, podemos definir o chamado . Dessa forma,conjunto das partes
dado um conjunto , representa-se como a família de todos os seus subconjuntos, que é chamada de
conjunto de potência ou, também, como o conjunto das partes de .
Seja ,temos:
Seja , temos:
Para encerrarmos esta primeira parte, dois conjuntos e são chamados disjuntos se não possuem elementos
em comum.
Fique ligado
Para que uma família de conjuntos seja bem definida, não pode haver um elemento isolado
dentro da família, como nesta situação: .
Fique ligado
Para todo número , com , se um conjunto tem elementos, então tem 
elementos.
Exemplo
Observe os conjuntos e .
Seja o conjunto dos números positivos e o conjunto dos números negativos, notadamente
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Agora, vamos fazer uma relação da teoria estudada até aqui com uma situação que vivenciamos cotidianamente:
o cálculo da inflação.
https://www.youtube.com/embed/T9IruoaKSF0
1.2 Operações de Conjuntos
As operações com conjuntos têm relação com as operações que realizamos com os números. No vídeo a seguir,
poderemos compreender as mais importantes: e .união intersecção de conjuntos
https://www.youtube.com/embed/Jj6RSME4--I
Por meio dos conjuntos, é possível realizar algumas operações. A primeira delas é a união de dois ou mais
conjuntos.
Seja o conjunto dos números positivos e o conjunto dos números negativos, notadamente
ambos são igualmente disjuntos.
Dado um conjunto contido em um conjunto universo , o complementar de são todos os
elementos que não pertencem a que pertencem a . Em notação: 
https://www.youtube.com/embed/T9IruoaKSF0
https://www.youtube.com/embed/Jj6RSME4--I
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Avançando ainda mais sobre os conceitos fundamentais de conjuntos, um conjunto particularmente importante
é o chamado conjunto vazio, ou nulo, que é representado por . O conjunto vazio não contém elementos.
Uma outra maneira de representar a união é Sejam e a união,
é dada por . Vale ressaltar que Disso, decorre o fato de que e são.
sempre subconjuntos de , isto é e :
Se , então .
A intersecção de e é o conjunto dos elementos que pertencem a e igualmente pertencem a . Esse novo
conjunto é denotado por . Em linguagem matemática, a intersecção é definida por .
O diagrama de Venn, que representa o conjunto intersecção, é representado pela figura seguir.
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Uma situação interessante na interseção é quando os conjuntos não têm elementos em comum. Assumindo, por
exemplo, , pode-se perceber que esses conjuntos não têm elementos em comum. Isso e 
implica que , ou seja, que os conjuntos são disjuntos.
Por sua vez, se e , nota-se que a intersecção . Portanto, para
esse caso particular, esses conjuntos não são disjuntos.
Vamos dar mais uma “paradinha” e acessar o podcast que complementa o que estamos estudando. O tema é a 
Segmentação de Mercado.
https://materiaisonline.pucpr.br/objetos/podcast/PODCAST_Segmentacao_de_Mercado.mp3
1.3 Propriedades
Vejamos agora algumas propriedades de operações com os conjuntos. Tais propriedades têm o objetivo de
facilitar as operações e, também, propiciar uma melhor compreensão do tema. Listaremos as sete propriedades
principais.
Considerando os conjuntos , e e o conjunto universo , são definidas as seguintes propriedades:
 e 
 e 
https://materiaisonline.pucpr.br/objetos/podcast/PODCAST_Segmentacao_de_Mercado.mp3
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 e 
 e 
; ; ; 
; ; ; 
 e 
O vídeo a seguir nos ajuda a consolidar melhor o entendimento de algumas dessas propriedades.
https://www.youtube.com/embed/nCadM-AgEbY
Uma lei bastante importante que nós temos dentro da Linguagem de Conjuntos é a chamada , queLei de Morgan
tem duas versões:
A primeira dela diz o seguinte:
A primeira lei nos diz que o complementar da união é a intersecção dos complementares. Vejamos como
conseguimos demonstrar essa primeira lei:
Prova:
Se 
Portanto: 
Parte 1
A parte 1 da prova diz que um elemento qualquer, denominado por x, pertence ao
complementar da união dos conjuntos A e B.
Parte 2
Se x pertence ao complementar de um conjunto, ele não pertence ao conjunto. Essa ideia é
o que diz a parte 2, ou seja, que x não pertence à união dos conjuntos A e B.
Parte 3
Se isso é verdade, implica dizer que x não deve pertencer ao conjunto A e, igualmente, não
deve pertencer ao conjunto B, pois, caso contrário, ele pertenceria a união de A e B. O não
pertencimento aos conjuntos A e B está na parte 3.
Parte 4
E a parte 4 diz que se x não pertence a A, ele só pode pertencer ao complementar de A. Do
mesmo modo, se x não pertence a B, ele só pode pertencer ao complementar de B. Por fim,
se x pertence igualmente a A e B, ele pertence a união dos complementares de A e B.
Já a segunda versão afirma que:
https://www.youtube.com/embed/nCadM-AgEbY
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Ou seja, o complementar da intersecção é a união dos complementares. Vamos para a prova:
Se 
Se pertence ao complementar da intersecção de e , então ele não pertence ao conjunto ou não pertence
ao conjunto . Dessa forma, ele pertence ao complementar de ou ao complementar de . Portanto, pertence
à união dos complementares de e .
Concluindo
Por intermédio desta primeira aula, pudemos conhecer e compreender os fundamentos da Linguagem de
Conjunto. Tal estudo nos permite avançar no entendimento de outras áreas da Matemática, como o estudo das
funções, que será visto nas próximas aulas.
Embora, em um primeiro momento, o tema aqui tratado se configure como algo abstrato, ele possui inúmeras
aplicações práticas, principalmente na área de negócios. Pudemos observar essas aplicações por meio dois
exemplos: com base no cálculo da inflação – objeto de estudo da economia e que gera impacto nas empresas, nos
consumidores e no mercado como um todo; e com base na segmentação de mercado – técnica bastante utilizada
pelo .marketing
Além dos dois exemplos citados, a Linguagem de Conjuntos pode ser observada em uma área de grande ascensão
no mercado: a Ciência de Dados. Como tal área é pautada na computação e na estatística, conhecer as diferentes
propriedades relacionadas aos conjuntos é essencial para o objetivo dessa ciência, que é automatizar e analisar
uma grande quantidade de dados.
Agora que você já conhece os principais aspectos da Linguagem de Conjuntos,podemos avançar mais um passo e
iniciar o estudo das funções. Nesse estudo, você poderá constatar que as funções existem somente porque
existem os conjuntos.
Referências
OLIVEIRA, C. A. M. de. . Curitiba: Editora InterSaberes, 2016.Matemática
YAMASHIRO, S.; SOUZA, S. A. O. . São Paulo: Bluscher, 2014.Matemática com aplicações tecnológicas
	Sumário
	Introdução
	1 Noções de Teoria dos Conjuntos e Extensões
	1.1 Conjuntos e Definições
	
	
	1.2 Operações de Conjuntos
	
	
	1.3 Propriedades
	
	Concluindo
	Referências