Modulo 1 Introdução ao mundo das equações polinomiais

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TEMA 04
Equações Algébricas
Módulo 1
Introdução ao mundo das equações polinomiais
Reconhecer os principais elementos e conceitos no universo das equações polinomiais.
Exemplo 1
Seja 𝑓 uma função de domínio e contradomínio reais, tal que 𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑥+1)(𝑥2−6𝑥+5). Determine os zeros de 𝑓.
Solução
Ora, uma das propriedades fundamentais dos números reais assegura que se o produto de números reais é igual a zero, então um desses reais vale zero.
Logo, podemos concluir que se (𝑥−3)(𝑥+1)(𝑥2−6𝑥+5)=0, então, necessariamente:
Exemplo 2
Seja 𝑓 a função de domínio e contradomínio complexos (ou seja, o domínio e o contradomínio são o conjunto C, dos números complexos) definida por 𝑓(𝑥)=𝑖𝑥+1, onde 𝑖 é a unidade imaginária. Determine os zeros de 𝑓.
Solução
Ora, se 𝑥 é um zero de 𝑓, então 𝑓(𝑥)=𝑖𝑥+1=0, ou seja, 𝑥=−1/𝑖=𝑖. Note que, nesse caso, 𝑓(𝑥) é uma função polinomial do primeiro grau, cujos coeficientes não são todos reais.
Exemplo 3
Seja 𝑓 uma função de domínio e contradomínio complexos (ou seja, o domínio e o contradomínio são o conjunto 𝐶, dos números complexos). Se 𝑓(𝑥)=𝑖𝑥2−1, onde 𝑖 é a unidade imaginária, determine:
a. 𝑓(1+𝑖) e 𝑓(1−𝑖).
b. Os zeros de 𝑓.
Solução
Veja a seguir a solução (a):
Exemplo 4
Mostre que todas as raízes da equação a seguir possuem mesma multiplicidade.
Exemplo 5
Encontre a raiz de maior multiplicidade nesta equação:
Solução
Lembremos que, no universo dos números reais ou complexos, vale a propriedade:
Se um produto é igual a zero, é necessário que uma das parcelas seja nula.
Daí, temos:
Exemplo 6
Seja 𝑓 a função de domínio e contradomínio iguais a 𝑅 e definida por:
Exemplo 7
Seja 𝑓 uma função de domínio e contradomínio igual a 𝑅 e 𝑓(𝑥)=2𝑥/2𝑥2.
Exibindo o gráfico de 𝑓 como o Desmos, por exemplo, podemos perceber que apenas 𝑥=0 é um zero de 𝑓.
Isso pode ser justificado porque a parcela 2𝑥/2 não se anula para nenhum valor real de 𝑥.
Note, também, que parece que a função 𝑓 cresce continuamente enquanto 𝑥 varia de −∞ até certo valor de 𝑥 próximo de −5; a seguir, decresce até 𝑥=0 e, na sequência, cresce a partir de 𝑥=0.
Exemplo 8
O gráfico da função real dada por 𝑓(𝑥)=sen(𝑥) possui uma infinidade de zeros, pois sen(𝑥) se anula exatamente para 𝑥 da forma 𝑘𝜋, onde 𝑘 é inteiro.
Note que, nesse caso, não dizemos que 0 ou 𝜋 é uma raiz da equação sen(𝑥)=0, mas que 0 e 𝜋 são zeros de 𝑓.
Exemplo 9
O gráfico da função real dada por 𝑓(𝑥)=𝑥⋅sen(𝑥) sugere que, além de 𝑓 possuir uma infinidade de zeros, o gráfico está contido entre as retas 𝑦=𝑥 e 𝑦=−𝑥, pois −1≤sen(𝑥)≤1.
Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical, pois 𝑓(−𝑎)=𝑓(𝑎), qualquer que se já 𝑎, então a função é chamada de função par.
Será que uma função do tipo 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛, onde 𝑛 é par, é uma função par?
Exemplo 10
A função definida por 𝑓(𝑥)=sen1𝑥, onde 𝑥≠0, possui zeros?
Analise seu gráfico com algum aplicativo, observando que tal gráfico está contido na faixa −1≤𝑦≤1, pois −1≤sen(𝑎)≤1, e para 𝑥 próximo de zero.
Solução
Veja a seguir a solução:
Questão 1
Quantos são os zeros, no universo dos reais, da função definida 𝑓(𝑥)=|𝑥2−4| ?
Questão 2
No universo dos números complexos, qual o módulo da raiz da equação 𝑖𝑥2−2𝑥+𝑖=0 que possui menor módulo?
Questão 3
Qual a multiplicidade da raiz de maior multiplicidade na equação:
(𝑥3−1)2(𝑥4−1)3(𝑥3+1)2=0?
Questão 4
O Desmos nos permite concluir, com facilidade, que a equação 𝑥4−4𝑥2+𝑥+3=0 possui uma raiz estritamente entre:
Questão 5
Qual a multiplicidade da raiz 𝑥=0 na equação (𝑥2+1)16=(𝑥2−1)16 ?
Questão 6
Sabendo que a equação 8𝑥3−6𝑥+2=0 admite −1 como uma de suas raízes, determine suas outras raízes.
Praticar alguns conceitos
Questão 1
Qual a multiplicidade da raiz de maior multiplicidade na equação a seguir?
Questão 2
Utilize um aplicativo gráfico para determinar quantas raízes reais possui a equação a seguir:
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