Livro Texto - Unidade II Organização de Computadores UNIP

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Unidade II
Unidade II
Estudaremos a construção das tabelas‑verdade, ferramentas fundamentais ao estudo da lógica. 
Em seguida, conheceremos as relações de implicação e de equivalência, que estabelecem comparações 
entre duas expressões lógicas. Vamos lá!
3 TABELAS‑VERDADE
3.1 Definição de tabela‑verdade
Na unidade I, resolvemos expressões lógicas para valores específicos das variáveis de entrada. 
No entanto, cada expressão lógica tem a sua própria tabela‑verdade.
Uma tabela‑verdade, portanto, é um artifício utilizado para conhecer a saída de uma expressão 
lógica para todas as possíveis combinações de valores lógicos das entradas. Ao montarmos uma tabela 
como essa, teremos a descrição completa do comportamento da expressão lógica, mesmo que não 
saibamos os valores lógicos de suas entradas.
Toda tabela‑verdade, no estudo da lógica, deve incluir a lista de todas as possíveis combinações 
de entradas, que corresponde aos possíveis valores lógicos das proposições simples, assim como 
a saída correspondente a cada uma dessas combinações, que corresponde ao valor lógico da 
proposição composta.
3.2 Construção da tabela‑verdade
Como, afinal, montamos uma tabela‑verdade a partir de uma expressão lógica? Vamos acompanhar 
as etapas de montagem, a seguir.
Passo 1. O primeiro passo é determinar quantas são as proposições simples, ou seja, quantas são 
as entradas da expressão. A partir disso, conseguimos calcular o número de linhas de estados que 
precisaremos para montar sua tabela‑verdade. O cálculo é feito por meio de uma função exponencial, em 
que o número de linhas de estados l (n) da tabela é dado em função do número n de proposições simples.
l (n) = 2n
Desse modo, se tivermos 2 proposições simples, precisaremos de 4 linhas de estado na tabela para 
que consigamos todas as possíveis combinações de estados das entradas.
l (2) = 22 = 4
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LÓGICA
Se tivermos 3 proposições simples, precisaremos de 8 linhas de estado na tabela para que consigamos 
todas as possíveis combinações de estados das entradas.
l (3) = 23 = 8
Para 4 proposições simples, precisaremos de 16 linhas na tabela, e assim por diante.
Passo 2. Definido o número de linhas, devemos montar a lista de todas as possíveis combinações das 
entradas. Para a simbologia V e F, o mais usual é começar com todas as entradas em V e terminarmos com 
todas em F. Para isso, podemos adotar um artifício: se tivermos duas entradas, 𝑎 e 𝑏, teremos 4 linhas e 
começamos pelos estados de 𝑏, que é posicionada mais à direta, intercalando entre V e F. Acompanhe a seguir.
Tabela 9 – Construção da lista de estados para duas variáveis
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
V
F
V
F
𝑎 𝑏
V V
V F
F V
F F
Começamos adotando as 4 linhas 
de estados
Começando a lista de estados pela 
coluna de 𝑏, adotamos V na primeira 
linha. Em seguida, vamos intercalando 
entre F e V, considerando cada valor 
lógico uma vez
Passamos para a proposição 𝑎, mas, 
dessa vez, dobramos a quantidade de 
vezes que consideramos cada valor 
lógico. Intercalamos de 2 em 2, dessa 
vez, começando também em V
E se tivermos 3 entradas? Seguiremos exatamente a mesma lógica, porém teremos 8 linhas e 3 
colunas de estados. Acompanhe a seguir.
Tabela 10 – Construção da lista de estados para três variáveis
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
V
F
V
F
V
F
V
F
𝑎 𝑏 𝑐
V V
V F
F V
F F
V V
V F
F V
F F
𝑎 𝑏 𝑐
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Começamos 
adotando as 8 
linhas de estados
Começando a lista de estados 
pela coluna de 𝑐, adotamos V 
na primeira linha. Em seguida, 
vamos intercalando entre F e V, 
considerando cada valor lógico 
uma vez
Passamos para a proposição 
𝑏, mas, dessa vez, dobramos 
a quantidade de vezes que 
consideramos cada valor lógico. 
Intercalamos de 2 em 2, dessa 
vez, começando também em V
Finalmente, em 𝑎, 
dobramos novamente a 
quantidade de vezes que 
consideramos cada valor 
lógico. Intercalamos de 4 
em 4, começando em V
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Unidade II
Com isso, conseguimos todas as possíveis combinações de entradas, o que permite a montagem 
da tabela‑verdade. Note que cobrimos todas as possíveis combinações, em nenhuma linha, há estados 
que se repetem em outra. Se houver mais proposições, o mesmo procedimento é adotado, sempre 
começando na coluna mais à direita e terminando na coluna mais à esquerda da tabela.
Passo 3. Definimos a ordem na qual vamos resolver as operações lógicas da expressão, 
observando a ordem de precedência dos operadores, assim como os parênteses. Cada operação 
pode ser feita em uma coluna auxiliar.
Passo 4. Resolvemos as operações lógicas, sendo que a última coluna da tabela representa, de fato, 
o resultado da saída.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Monte a tabela‑verdade da expressão lógica S = ~𝑎 ∧ 𝑏 que representa o circuito 
digital que será desenvolvido por um projetista.
Resolução
Passo 1. Temos duas entradas, 𝑎 e 𝑏. Com isso, sabemos que precisamos de 4 linhas na tabela‑verdade.
Passo 2. Montamos a lista de estados, mostrada a seguir.
Tabela 11 – Primeira tabela do exemplo 1
𝑎 𝑏
V V
V F
F V
F F
Passo 3. Definimos a ordem na qual vamos resolver as operações lógicas da expressão. Pela ordem de 
precedência, resolveremos a negação e, em seguida, a conjunção. Vamos adotar uma coluna para cada 
uma dessas operações. Assim que resolvermos a conjunção, já teremos o resultado da saída da expressão.
Tabela 12 – Segunda tabela do exemplo 1
𝑎 𝑏 ~𝑎 ~𝑎 ∧ 𝑏
V V
V F
F V
F F
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LÓGICA
Passo 4. Resolvemos as operações lógicas. Começando por ~𝑎 , devemos observar a coluna de 𝑎 
(que está a seguir destacada com uma seta) e aplicar a ela a operação de negação. Vamos, portanto, 
inverter o valor lógico de cada uma de suas linhas. O operador que está sendo resolvido no momento 
também está em destaque (aparece em vermelho).
Tabela 13 – Terceira tabela do exemplo 1
↓↓
𝑎 𝑏 ~~𝑎 ~𝑎 ∧ 𝑏
V V F
V F F
F V V
F F V
Agora, vamos resolver a conjunção entre ~𝑎 e 𝑏. Para isso, olhamos para a coluna de ~𝑎 e para a 
coluna de 𝑏, considerando o resultado verdadeiro apenas nas linhas em que ambos são verdadeiros.
Tabela 14 – Quarta tabela do exemplo 1
↓↓ ↓↓
𝑎 𝑏 ~𝑎 ~𝑎 ∧ ∧ 𝑏
V V F F
V F F F
F V V V
F F V F
Com isso, sabemos o comportamento da expressão S, pois a tabela já está finalizada. S só será 
verdadeira se tivermos 𝑎 = F e 𝑏 = V (o que ocorre na 3ª linha de estados). Para todas as outras 
combinações, S resultará em F.
Perceba que as colunas realmente necessárias em uma tabela‑verdade são aquelas onde 
dispomos a lista de combinações de valores lógicos das entradas e a coluna onde dispomos a saída 
da proposição composta. Listamos os estados das entradas nas duas primeiras colunas, e a saída, 
na 4ª coluna. A 3ª coluna, que corresponde à operação ~𝑎, se trata de uma coluna auxiliar, ou seja, 
uma coluna que servirá para que realizemos operações intermediárias, que nos ajudarão a chegar 
até o resultado.
Exemplo 2. Monte a tabela‑verdade da expressão lógica S=(~a (∨) b)⟶c. S=(~a (∨) b)⟶c.
Resolução
Como temos 3 proposições simples na expressão (𝑎, 𝑏 e 𝑐), precisamos de 8 linhas na 
tabela‑verdade. As listas de combinações de estados das proposições simples serão posicionadas 
nas primeiras três colunas da tabela.
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Unidade II
Tabela 15 – Primeira tabela do exemplo 2
𝑎 𝑏 𝑐
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
A ordem na qual vamos resolver as operações segue a própria ordem de precedência dos 
operadores lógicos: negação, disjunção exclusiva e, por último, condicional. Com isso, esperamos 
as colunas seguintes na tabela, onde a última coluna representará o resultado de S.
Tabela 16 – Segunda tabela do exemplo 2
𝑎 𝑏 𝑐 ~𝑎 ~𝑎 v 𝑏 (~𝑎 v 𝑏) → 𝑐
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Vamos, então, resolver as operações lógicas. Começando pela negação, para resolver ~𝑎, olhamos 
para a coluna de 𝑎 e negá‑la, linha por linha. O resultado será preenchido na 4ª coluna.
Tabela 17 – Terceira tabela do exemplo 2
↓↓
𝑎 𝑏𝑐 ~𝑎 ~𝑎 v 𝑏 (~𝑎 v 𝑏) → 𝑐
V V V F
V V F F
V F V F
V F F F
F V V V
F V F V
F F V V
F F F V
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LÓGICA
Na sequência, vamos à disjunção exclusiva entre ~𝑎 e 𝑏. Olhamos para essas duas colunas e aplicamos 
a definição da operação, com o resultado posicionado na 5ª coluna. Nas linhas em que ~𝑎 e 𝑏 forem 
diferentes, o resultado será V, e, nas linhas em que forem iguais, o resultado será F.
Tabela 18 – Quarta tabela do exemplo 2
↓↓ ↓↓
𝑎 𝑏 𝑐 ~𝑎 ~𝑎 vv 𝑏 (~𝑎 v 𝑏) → 𝑐
V V V F V
V V F F V
V F V F F
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V V
F F F V V
Finalmente, resolvemos a última operação, que será a condicional. Com isso, teremos o resultado 
completo da expressão (~𝑎 v 𝑏) ⟶c, que representa S. O antecedente, (~𝑎 v 𝑏) encontra‑se na 
5ª coluna; e o consequente, c, encontra‑se na 3ª coluna. Lembrando que essa operação só resulta em 
F quando temos antecedente verdadeiro com consequente falso, apenas posicionaremos F na 6ª e 
última coluna nas linhas em que ~𝑎 v 𝑏 for verdadeiro e c for falso. Note que isso só ocorre na 2ª 
e na última linha de estados.
Tabela 19 – Quinta tabela do exemplo 2
↓↓ ↓↓
𝑎 𝑏 𝑐 ~𝑎 ~𝑎 v 𝑏 (~𝑎 v 𝑏) →→ 𝑐
V V V F V V
V V F F V F
V F V F F V
V F F F F V
F V V V F V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V F
Temos, agora, a tabela completa. A saída S é representada na última coluna. Ela resulta em 
F quando temos as entradas 𝑎 = V, 𝑏 = V e c = F. Ela também resulta em F quando as entradas 
são 𝑎 = F, 𝑏 = F e c = F. Para qualquer outra combinação de estados das entradas, a saída 
é verdadeira.
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Unidade II
Exemplo 3. Considere as proposições simples a seguir.
p: Joana é estudante.
q: Joana mora em Santos.
Determine em que condições é verdadeira a seguinte sentença composta.
R: Se Joana é estudante, então ela não está morando em Santos.
Resolução
A sentença composta, R, é formada pelas duas proposições simples, p e q, associadas pelos 
operadores “não” e “se...então”. Passando da linguagem corrente para a linguagem simbólica, 
podemos descrever R como:
R=p⟶~q
Em linguagem corrente, os tempos verbais podem ser ajustados para que a sentença se adeque 
melhor ao contexto.
Desconhecemos, a princípio, os valores lógicos de p e de q. Consequentemente, também 
desconhecemos o valor lógico de R. Para saber em que condições R será verdadeira, podemos 
montar a tabela‑verdade correspondente à expressão.
Com duas proposições simples, precisamos de 4 linhas na tabela. As duas primeiras colunas da tabela 
serão dedicadas às entradas, p e q. Na sequência, resolveremos a negação ~q, seguida da condicional 
p⟶~q. O resultado de R é expresso na última coluna, já que R=p⟶~q.
Tabela 20 – Tabela‑verdade do exemplo 3
� q ~q p→~q
V V F F
V F V V
F V F V
F F V V
Com isso, percebemos que a sentença p⟶~q só será falsa se tivermos p verdadeiro e q verdadeiro. 
Ou seja, se for verdade que Joana é estudante, e for verdade que ela mora em Santos. Isso faz com que 
tenhamos um antecedente verdadeiro com um consequente falso, já que o consequente diz que ela não 
mora em Santos. Para qualquer outra combinação de estados, continuamos com uma sentença verdadeira.
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LÓGICA
 Saiba mais
Existem diversos geradores on‑line de tabelas‑verdade. Um deles é o 
disponível no endereço a seguir:
MICALEVISK’S GITHUB REPOSITORIES. Gerador de tabela verdade +. 2022. 
Disponível em: https://cutt.ly/XM2XRgF. Acesso em: 22 nov. 2022.
3.3 Números binários
Você, provavelmente, já ouviu falar que computadores entendem apenas “zeros e uns”. O que na 
prática isso significa? Os circuitos dos processadores dos computadores modernos trabalham com 
transistores, dispositivos que funcionam como chaves ou interruptores eletrônicos. Essas chaves 
podem ser conectadas umas às outras, de forma a desempenharem funções lógicas semelhantes às que 
estudamos ao longo deste tópico. Esses circuitos transistorizados, que desempenham função lógica, são 
denominados portas lógicas.
As portas lógicas são responsáveis pelo processamento dos dados nos computadores que utilizamos 
rotineiramente. Uma porta lógica recebe sinais com determinados níveis de tensão elétrica em seus 
terminais de entrada, processa esses sinais de acordo com sua operação lógica correspondente e, em 
seguida, responde com determinado nível de tensão elétrica em seu terminal de saída. Esses níveis de 
tensão, tanto de entrada quanto de saída, são restritos a duas medidas distintas, ou seja, trata‑se de um 
sistema dicotômico. Nos projetos desses circuitos, em vez de se referirem a medidas de tensão, em volts, 
os projetistas adotam uma abstração: referem‑se ao nível de tensão mais baixo (por exemplo, 0 V) como 
nível 0 e, ao nível de tensão mais alto (por exemplo, 5 V), como nível 1. Daí, dizemos que computadores 
só entendem “zeros e uns”, ou seja, eles falam uma linguagem binária.
Do ponto de vista lógico, não há diferença entre considerar os dois possíveis estados de um 
sistema dicotômico como “V ou F” ou como “0 ou 1”. Contanto que estejamos dentro de um sistema 
dicotômico, as mesmas regras se aplicam, independentemente da simbologia utilizada. Por isso, 
tabelas‑verdade são artifícios utilizados na área computacional, tanto para a montagem de circuitos 
digitais quanto na programação de alto nível.
 Saiba mais
Se você quiser saber mais sobre as portas lógicas e os circuitos digitais 
que integram o hardware dos nossos sistemas computacionais, consulte o 
livro Eletrônica digital, de autoria de Alexandre Haupt e Édison Dachi.
HAUPT, A.; DACHI, É. Eletrônica digital. São Paulo: Blucher, 2016.
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Unidade II
3.4 Tautologia, contradição e contingência
3.4.1 Tautologia
Algumas proposições compostas são logicamente verdadeiras, independentemente do valor 
lógico das proposições simples que as compõem. Por exemplo, a proposição composta 𝑎 ∨ ~𝑎 é, 
necessariamente, verdadeira. Nesse caso, não importa se 𝑎 é verdadeiro ou falso. Para entendermos isso, 
vamos contextualizar essa proposição composta.
𝑎 ∨ ~𝑎: Maria é brasileira, ou Maria não é brasileira.
Nesse caso, não importa a nacionalidade de Maria: a sentença composta sempre será verdadeira, 
afinal, uma das componentes da disjunção sempre será verdadeira. Vamos montar a tabela‑verdade 
dessa expressão e analisar seu resultado.
Tabela 21 – Tabela‑verdade que representa uma tautologia
𝑎 ~𝑎 𝑎 ∨ ~𝑎
V F V
F V V
Note que temos apenas uma proposição simples, 𝑎, como entrada. Logo, bastam duas linhas para 
montarmos a tabela‑verdade. Essa proposição 𝑎 aparece na expressão composta em sua forma original 
e em sua forma negada.
Se analisarmos a última coluna, que representa a saída da tabela, vemos que ambas as linhas 
obtiveram resultado verdadeiro. Temos, nesse caso, uma tautologia. Essa é uma das formas mais 
fáceis de definirmos uma tautologia: trata‑se de uma sentença lógica que sempre apresentará 
resultado verdadeiro.
 Observação
Não importa quantas linhas existam na tabela‑verdade. Todas 
elas devem apresentar resultado V em sua coluna de saída para que 
tenhamos uma tautologia.
3.4.2 Contradição
Algumas proposições compostas são logicamente falsas, independentemente do valor lógico das 
proposições simples que as compõem. Vamos, agora, considerar a proposição composta 𝑎 ∧ ~𝑎. 
Nesse caso, não importa se a proposição simples componente, 𝑎, é verdadeira ou falsa. A proposição 
composta sempre será falsa. Considere o exemplo a seguir.
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LÓGICA
𝑎 ∧ ~𝑎: João nasceu em Maceió e não nasceu em Maceió.
Note que não importa o local de nascimento de João: uma sentença simples contradiz a outra, o 
que nos leva, necessariamente, a uma sentença composta falsa. Temos, portanto, uma contradição.
Se montarmos a tabela‑verdade de uma contradição, esperamos, como resultado, todas as linhas de 
saída falsas, conforme podemos observar na tabela.
Tabela 22 – Tabela‑verdade que representa uma contradição
𝑎 ~𝑎 𝑎 ∧ ~𝑎
V F F
F V F
 Observação
Não importa quantas linhas existam na tabela‑verdade. Todas elas 
devemapresentar resultado F em sua coluna de saída para que tenhamos 
uma contradição.
3.4.3 Contingência
Já sabemos da existência de tautologias e de contradições. No entanto, esperamos que o resultado 
da maior parte das expressões lógicas compostas com as quais lidamos dependa, sim, do valor lógico de 
suas componentes, certo? Nesse caso, temos as contingências. A tabela‑verdade de uma contingência 
resulta em uma combinação de Vs e Fs, de forma a termos pelo menos uma linha verdadeira e pelo 
menos uma linha falsa.
Em outras palavras: se a expressão lógica não representa uma tautologia e nem uma contradição, 
ela necessariamente será uma contingência. Como exemplo, podemos trazer a tabela‑verdade da 
expressão 𝑎 ↔ 𝑏.
Tabela 23 – Tabela‑verdade da operação bicondicional, 
que representa uma contingência
𝑎 𝑏 𝑎 ↔ 𝑏
V V V
V F F
F V F
F F V
Note que, na coluna de resultado, encontramos uma “mistura” de resultados falsos e verdadeiros. Isso 
indica que o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico de suas componentes simples.
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Unidade II
 Lembrete
Tautologia: expressão lógica em que todas as linhas da tabela‑verdade 
resultam em V.
Contradição: expressão lógica em que todas as linhas da tabela‑verdade 
resultam em F.
Contingência: expressão lógica cuja tabela‑verdade resulta em uma 
mistura, em qualquer proporção, de Vs e Fs. Ou seja, a saída da tabela terá 
pelo menos uma linha verdadeira e pelo menos uma linha falsa.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Construa a tabela‑verdade da expressão P (x, y, z) = (x → y) ∧ (y → z) → (x → z) 
e diga se a proposição composta representa uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Resolução
Vamos começar analisando a própria estrutura da expressão. A indicação P (x, y, z) diz que 
temos uma proposição composta chamada P, que é formada por três proposições simples: x, y e z. 
O relacionamento entre essas proposições simples é apresentado do lado direito da igualdade.
Por termos três proposições simples, precisaremos de 8 linhas de estados na tabela‑verdade. Em 
relação à ordem de precedência das operações, vamos primeiro resolver as três expressões dos parênteses, 
depois a conjunção e, por último, a condicional externa. A montagem da tabela é apresentada a seguir.
Tabela 24 – Tabela‑verdade da expressão, 
indicando que se trata de uma tautologia
x y z (x → y) (y → z) (x → z)
(x → y) ∧ (y → 
z)
(x → y) ∧ (y → z) → (x 
→ z)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V F V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F V F V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
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LÓGICA
Repare que, na última coluna, que representa a saída da nossa tabela‑verdade, todas as linhas 
apresentaram valor lógico V. Trata‑se, portanto, de uma tautologia. Isso significa que, independentemente 
do valor lógico de x, y e z, a expressão P sempre será verdadeira devido ao seu formato.
Se você sentiu alguma dificuldade em encontrar os valores lógicos da última coluna desta 
tabela, talvez, você tenha trocado o antecedente pelo consequente na última operação condicional. 
Não se preocupe, isso é muito comum de acontecer. Note que o antecedente (quem vem antes da 
“setinha”) é a expressão (x → y) ∧ (y → z), e o consequente (quem vem depois da “setinha”) é a 
expressão (x → z). Logo, o antecedente se encontra na penúltima coluna da tabela, enquanto o 
consequente está na antepenúltima coluna.
Exemplo 2. Considere a proposição a seguir: “na prova da disciplina de Lógica, Nelson será 
aprovado e não será aprovado”. Diga se a proposição composta representa uma tautologia, uma 
contradição ou uma contingência.
Resolução
Analisando o formato da sentença, verificamos que se trata de uma estrutura do tipo 𝑎∧ ~𝑎 , que já 
estudamos no tópico 3.4.2 deste livro‑texto. Temos, portanto, uma contradição.
4 RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO E DE EQUIVALÊNCIA
Conhecemos, na unidade I, as principais operações da lógica proposicional. Vamos, agora, estudar 
algumas relações entre proposições. Para entender o conceito de relação, vamos relembrar os conceitos 
que vimos em teoria de conjuntos.
 Lembrete
As operações entre conjuntos diferem das relações de igualdade e de 
inclusão. Em uma relação, apenas fazemos comparações entre conjuntos 
(por exemplo, dizemos se um é subconjunto do outro). Por outro lado, 
as operações entre conjuntos (como a operação de união, por exemplo) 
resultam em um novo conjunto a partir de outros já existentes.
Podemos, também, pensar em aritmética. Observe a expressão a seguir.
x = 2 + 3
O símbolo “+” indica uma operação aritmética entre os operandos 2 e 3. A partir desses dois números, 
executar a operação de adição resultará em um novo número, que é o 5. Executando essa operação, 
portanto, temos o seguinte.
x = 5
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Unidade II
O símbolo “=”, por sua vez, indica uma relação entre o termo da esquerda e o termo da direita. 
Note que não há nenhuma operação subsequente para fazermos, apenas estamos comparando os dois 
termos entre si e dizendo que eles são iguais.
Pois bem, uma operação (2+3) gera uma tarefa que, quando executada, produz um resultado (5). 
Uma relação não produz qualquer resultado, ela apenas compara duas coisas entre si (x = 5).
Voltemos à lógica. Uma operação lógica entre duas proposições produz um resultado (V ou F). 
Já uma relação entre duas proposições estabelece uma comparação entre elas.
Entendido o conceito de relação, vamos estudar duas importantes relações da lógica: a relação de 
implicação e a de equivalência.
4.1 Relação de implicação
Dizemos que uma proposição 𝑋 implica outra proposição 𝑌 quando, em suas tabelas‑verdade, não 
ocorre a alternativa VF, nessa ordem, em nenhuma das linhas das tabelas. Ou seja, se compararmos a 
tabela‑verdade de 𝑋 com a tabela‑verdade de 𝑌, linha a linha, não encontraremos nenhuma em que 𝑋 
apresenta valor lógico verdadeiro e 𝑌 apresenta valor lógico falso.
Simbolicamente, representamos uma relação de implicação por uma seta dupla unidirecional, ⇒. 
Observe a notação a seguir.
X ⇒ Y
Lemos essa relação como “X” implica “Y”. Essa relação significa que sempre que X for verdadeiro, Y 
será verdadeiro também.
 Observação
É importante, nesse momento, não confundirmos os símbolos → e ⇒.
→: operador lógico que representa uma operação condicional entre 
duas proposições, que resultará numa nova proposição composta.
⇒: indica a relação de implicação entre duas proposições.
Vamos agora acompanhar alguns exemplos em que analisaremos as tabelas‑verdade de duas 
proposições para avaliar a veracidade da relação de implicação entre elas.
63
LÓGICA
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Por meio de tabelas‑verdade, verifique se 𝑎 ⇒ 𝑎 ∨ 𝑏.
Resolução
O enunciado nos pede para verificar se a proposição 𝑎 implica a proposição 𝑎 ∨ 𝑏. Para isso, 
vamos comparar as tabelas‑verdade de ambas as proposições. Como 𝑎 é uma proposição simples, 
sua tabela vem da própria lista de estados utilizada para montar a tabela de 𝑎 ∨ 𝑏. Portanto, vamos, 
inicialmente, apenas montar a tabela‑verdade da expressão 𝑎 ∨ 𝑏, exposta a seguir.
Tabela 25 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 ∨ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏
V V V
V F V
F V V
F F F
Com a tabela montada, já podemos verificar se é válida a relação de implicação entre 𝑎 e 𝑎 ∨ 𝑏. 
Na tabela a seguir, destacamos, em fundo verde, a coluna que representa a tabela de 𝑎, assim como 
destacamos, em fundo roxo, a coluna que representa tabela de 𝑎 ∨ 𝑏. A numeração das linhas foi 
inserida para facilitar a análise que faremos em sequência.
Tabela 26 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 ∨ 𝑏, com destaques visuais 
que permitem a verificação da relação de implicação 𝑎 ⇒ 𝑎 ∨ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Em cada uma das 4 linhas, não devemos encontrar o estado VF da coluna verde para a coluna 
roxa, caso a relação de implicação seja verdadeira. Nas linhas 1 e 2, temos o estado VV (verde com 
V, roxo com V). Na linha 3, observamos o estado FV (verde com F, roxo com V). Já na linha 4, temos 
o estado FF (verde com F,roxo com F).
Observe que a alternativa VF não ocorreu em nenhuma linha, quando comparamos uma coluna 
com a outra. Isso significa que é verdade que 𝑎 implica 𝑎 ∨ 𝑏. Ou seja, é válida a relação 𝑎 ⇒ 𝑎 ∨ 𝑏. 
Na prática, temos que, sempre que 𝑎 é verdadeiro, 𝑎 ∨ 𝑏 será verdadeiro também.
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Unidade II
Exemplo 2. Por meio de tabelas‑verdade, verifique se 𝑎 ⇒ 𝑎 ⊻ 𝑏.
Resolução
O enunciado nos pede para verificarmos se a proposição 𝑎 implica a proposição 𝑎 ⊻ 𝑏. Para isso, 
vamos comparar as tabelas‑verdade de ambas as proposições. Como 𝑎 é uma proposição simples, 
sua tabela vem da própria lista de estados utilizada para montar a tabela de 𝑎 ⊻ 𝑏. Portanto, 
vamos, inicialmente, apenas montar a tabela‑verdade da expressão 𝑎 ⊻ 𝑏, exposta a seguir.
Tabela 27 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 ⊻ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏
V V F
V F V
F V V
F F F
Com a tabela montada, podemos verificar se é válida a relação de implicação entre 𝑎 e 𝑎 ⊻ 𝑏. Na tabela 
a seguir, destacamos, em fundo verde, a coluna que representa a tabela de 𝑎, assim como destacamos, 
em fundo roxo, a coluna que representa tabela de 𝑎 ⊻ 𝑏, novamente com a numeração das linhas.
Tabela 28 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 ⊻ 𝑏, com destaques visuais 
que permitem a verificação da relação de implicação 𝑎 ⇒ 𝑎 ⊻ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏
1 V V F
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Em cada uma das 4 linhas, não podemos encontrar o estado VF da coluna verde para a coluna 
roxa, caso a relação de implicação seja válida. Porém, logo na linha 1 (destacada com borda vermelha), 
verificamos que o estado VF ocorreu, pois temos elemento verde com V e o roxo com F. Não seria 
necessário, nesse caso, nem mesmo avaliar as outras linhas, pois já sabemos que relação de implicação 
proposta no enunciado não é válida. Porém, vamos avaliá‑las para completar nosso estudo.
Na linha 2, temos o estado VV. Na linha 3, observamos o estado FV. Já na linha 4, temos o 
estado FF. Individualmente, nenhuma dessas três linhas invalida a relação de implicação, porém, 
devemos avaliar sempre a tabela como um todo. Basta que em uma delas ocorra o estado VF para 
que a relação de implicação entre 𝑎 e 𝑎 ⊻ 𝑏 seja considerada falsa. Logo, não é verdade que 𝑎 
implica 𝑎 ⊻ 𝑏.
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LÓGICA
Exemplo 3. Por meio de tabelas‑verdade, verifique se 𝑎 → 𝑏 ⇒ 𝑎 ⊻ 𝑏.
Resolução
Dessa vez, temos que verificar se é verdadeira a relação de implicação entre duas proposições 
compostas. Com isso, temos que montar ambas as tabelas‑verdade e comparar suas saídas entre si. 
As tabelas de 𝑎 → 𝑏 e de 𝑎 ⊻ 𝑏 são mostradas a seguir, individualmente.
Tabela 29 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 → 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 → 𝑏
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 30 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 ⊻ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏
V V F
V F V
F V V
F F F
Vamos dispor ambas as tabelas sob a mesma lista de estados, para ficar mais fácil compará‑las. Nossa 
intenção, agora, será comparar a coluna de saída de 𝑎 → 𝑏 com a coluna de saída de 𝑎 ⊻ 𝑏. Na tabela 
seguinte, elas aparecem lado a lado.
Tabela 31 – Tabelas‑verdade de ambas as expressões
𝑎 𝑏 𝑎 → 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏
V V V F
V F F V
F V V V
F F V F
Para facilitar a comparação, vamos, novamente, fazer o destaque em cores. A seguir, 𝑎 → 𝑏 aparece 
em verde e 𝑎 ⊻ 𝑏 aparece em roxo.
Tabela 32 – Tabelas‑verdade de ambas as expressões, 
com destaques visuais que permitem a verificação 
da relação de implicação 𝑎 → 𝑏 ⇒ 𝑎 ⊻ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 → 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏
1 V V V F
2 V F F V
3 F V V V
4 F F V F
66
Unidade II
Novamente, nossa intenção é procurar por estados VF, que tornam falsa a relação de implicação 
entre as proposições consideradas. Note que esses estados ocorreram duas vezes, nas linhas 1 e 4, 
destacadas com borda vermelha. Logo, não é verdade que 𝑎 → 𝑏 implica 𝑎 ⊻ 𝑏.
Por mais que tenhamos significados diferentes para os símbolos → e ⇒, eles apresentam 
certa dependência entre si. A implicação entre duas proposições, digamos, X ⇒ Y, indica que a 
condicional X → Y resulta em uma tautologia. Se não ocorre o estado VF entre as proposições 
consideradas, nunca teremos antecedente, X, verdadeiro, com consequente, Y, falso. Logo, o padrão 
da tabela‑verdade da condicional será tautológico. Vamos verificar essa afirmação acompanhando 
mais um exemplo.
Exemplo de aplicação
Sabe‑se que 𝑎 ⇒ 𝑎 ∨ 𝑏. Por meio de tabelas‑verdade, demonstre que a condicional 𝑎 → 𝑎 ∨ 𝑏 
é tautológica.
Resolução
Já verificamos, em um exemplo de aplicação anterior, que é verdade que 𝑎 ⇒ 𝑎 ∨ 𝑏. Logo, esperamos 
que a condicional 𝑎→ 𝑎 ∨ 𝑏 seja tautológica. Vamos montar a tabela‑verdade de 𝑎→ 𝑎 ∨ 𝑏 e comprovar 
essa afirmação.
Tabela 33 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 → 𝑎 ∨ 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏 𝑎 → 𝑎 ∨ 𝑏
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
Como a coluna de saída da tabela‑verdade apresentou apenas linhas com valor lógico verdadeiro, 
comprovamos que a condicional 𝑎 → 𝑎 ∨ 𝑏 é tautológica.
Isso é esperado sempre que soubermos que uma relação de implicação é verdadeira e trocarmos 
⇒ por →.
 Observação
A relação de implicação será aplicada na definição de um argumento 
lógico válido, que veremos na unidade III deste livro‑texto.
67
LÓGICA
4.2 Relação de equivalência
Dizemos que uma proposição X é equivalente a outra proposição Y quando, em suas tabelas‑verdade, 
não ocorre a alternativa VF ou a alternativa FV em nenhuma das linhas das tabelas. Ou seja, se 
compararmos a tabela‑verdade de X com a tabela‑verdade de Y, linha a linha, não encontraremos 
nenhuma em que X apresenta valor lógico verdadeiro e Y apresenta valor lógico falso; também não 
encontraremos nenhuma em que 𝑋 apresenta valor lógico falso e Y apresenta valor lógico verdadeiro. Na 
prática, as tabelas‑verdade de X e de Y serão iguais, pois só apresentarão alternativas do tipo VV ou FF.
Simbolicamente, representamos uma relação de equivalência por uma seta dupla bidirecional ⇔. 
Observe a notação a seguir.
X ⇔ Y
Lemos essa relação como “X é equivalente a Y”. Essa relação significa que X e Y apresentarão 
exatamente a mesma coluna de saída em suas tabelas‑verdade.
 Observação
É importante não confundirmos os símbolos ↔ e ⇔.
↔ : operador lógico que representa uma operação bicondicional entre 
duas proposições, que resultará numa nova proposição composta.
⇔: indica a relação de equivalência entre duas proposições. Alguns 
autores podem utilizar o símbolo de igualdade, =, para substituir o símbolo 
de equivalência. O significado será o mesmo.
Vamos, agora, acompanhar alguns exemplos em que analisaremos as tabelas‑verdade de duas 
proposições, para avaliar a veracidade da relação de equivalência entre elas.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Por meio de tabelas‑verdade, verifique se 𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏).
Resolução
O enunciado nos pede para verificar se a proposição 𝑎 ∧ 𝑏 é equivalente à proposição ~(~𝑎 ∨ ~𝑏). 
Para isso, vamos comparar as tabelas‑verdade de ambas as proposições. Você pode montar duas 
tabelas‑verdade separadas, ou aproveitar a mesma lista de estados das entradas para montar, em uma 
única estrutura, as duas tabelas. Montaremos, diretamente, as duas tabelas, na mesma estrutura.
68
Unidade II
Tabela 34 – Verificação da relação de equivalência 
𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) 
𝑎 𝑏 𝑎 ∧ 𝑏 ~𝑎 ~𝑏 ~𝑎 ∨ ~𝑏 ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) 
V V V F F F V
V F F F V V F
F V F V F V F
F F F V V V F
Destacamos a coluna que representa a saída da tabela‑verdade da expressão 𝑎 ∧ 𝑏 em verde, assim 
como destacamos a coluna da expressão ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) em roxo. Comparando ambas as colunas em 
destaque, percebemos que elas apresentam resultados iguais, com valor lógico V na primeira linha, 
e valor lógico F nas linhas seguintes. Concluímos, portanto, que a proposição 𝑎 ∧ 𝑏 é equivalente à 
proposição ~(~𝑎 ∨ ~𝑏). Ou seja, é válida a relação 𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏).
Isso significa que se, por exemplo, um circuito lógico de processamento computacional for montado 
de acordo com a expressão 𝑎 ∧ 𝑏 e outro for montado de acordo com a expressão ~(~𝑎 ∨ ~𝑏), eles 
produzirão exatamenteos mesmos resultados.
Exemplo 2. Por meio de tabelas‑verdade, verifique se 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐.
Resolução
O enunciado nos pede para verificar se a proposição 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) é equivalente à proposição (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐. 
Para isso, vamos comparar as tabelas‑verdade de ambas as proposições. Vamos, novamente, aproveitar 
a mesma lista de estados das entradas para montar, em uma única estrutura, as duas tabelas.
Tabela 35 – Tabela para a verificação da relação de equivalência 
𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 ∨ 𝑐 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) (𝑎 ∨ 𝑏) (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V V V V
V F F F V V V
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V V V F V
F F F F F F F
Destacamos a coluna que representa a saída da tabela‑verdade da expressão 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) em verde, assim 
como destacamos a coluna da expressão (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 em roxo. Comparando ambas as colunas em destaque, 
percebemos que elas apresentam resultados iguais, com valor lógico F apenas na última linha. Concluímos, 
portanto, que a proposição (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 é equivalente à proposição 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐). Ou seja, é válida a relação 
𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐.
69
LÓGICA
Exemplo 3. Por meio de tabelas‑verdade, verifique se ~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏.
Resolução
Montando as tabelas‑verdade de ~(𝑎 ∧ 𝑏) e de ~𝑎 ∧ ~𝑏, chegamos à estrutura exposta a seguir.
Tabela 36 – Tabela para a verificação da relação de equivalência 
~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 ∧ 𝑏 ~(𝑎 ∧ 𝑏) ~𝑎 ~𝑏 ~𝑎 ∧ ~𝑏
V V V F F F F
V F F V F V F
F V F V V F F
F F F V V V V
Nesse caso, podemos verificar que, nas linhas de estados 2 e 3, destacadas com bordas vermelhas, 
as proposições apresentaram resultados distintos. Logo, a proposição ~(𝑎 ∧ 𝑏) não é equivalente à 
proposição ~𝑎 ∧ ~𝑏.
Isso significa que, se por exemplo, um circuito lógico de processamento computacional for montado 
de acordo com a expressão ~(𝑎 ∧ 𝑏) e outro for montado de acordo com a expressão ~𝑎 ∧ ~𝑏, eles 
produzirão resultados diferentes.
 Observação
Assim como a relação de igualdade na aritmética, a relação de 
equivalência lógica é comutativa. Isso significa que, se X ⇔ Y, podemos 
dizer que, necessariamente,Y ⇔ X.
Por mais que tenhamos significados diferentes para os símbolos ↔ e ⇔, eles apresentam certa 
dependência entre si. A equivalência entre duas proposições, digamos, X ⇔ Y, indica que a bicondicional 
X ↔ Y resulta em uma tautologia. Se não ocorrem os estados VF ou FV entre as proposições consideradas, 
o padrão da tabela‑verdade da bicondicional será tautológico. Vamos verificar essa afirmação 
acompanhando o exemplo a seguir.
70
Unidade II
Exemplo de aplicação
Sabe‑se que 𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) . Por meio de tabelas‑verdade, demonstre que a bicondicional 
𝑎 ∧ 𝑏 ↔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) é tautológica.
Resolução
Já verificamos, em um exemplo de aplicação anterior, que é verdade que 𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) . Logo, 
esperamos que a bicondicional 𝑎 ∧ 𝑏 ↔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) seja tautológica. Vamos montar a tabela‑verdade 
de 𝑎 ∧ 𝑏 ↔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) e comprovar essa afirmação.
Tabela 37 – Tabela‑verdade da expressão 𝑎 ∧ 𝑏 ↔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) 
𝑎 𝑏 𝑎 ∧ 𝑏 ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) 𝑎 ∧ 𝑏 ↔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) 
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F F V
Como a coluna de saída da tabela‑verdade apresentou apenas linhas com valor lógico verdadeiro, 
comprovamos que a bicondicional 𝑎 ∧ 𝑏 ↔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) é tautológica.
Isso é esperado sempre que soubermos que uma relação de equivalência é verdadeira e trocarmos 
⇔ por ↔ .
 Observação
Cada expressão lógica tem infinitas expressões equivalentes a ela. 
Por exemplo, todas as relações de equivalência, demonstradas a seguir, 
são verdadeiras.
𝑎 ⇔ 𝑎
𝑎 ⇔ 𝑎 ∧ 𝑎
𝑎 ⇔ 𝑎 ∧ 𝑎 ∧ 𝑎
𝑎 ⇔ 𝑎 ∧ 𝑎 ∧ 𝑎 ∧ 𝑎
É interessante notarmos que se uma relação de equivalência entre duas proposições é válida, a relação 
de implicação entre elas também será, em ambos os sentidos. Dessa forma, se é verdade que 𝑋 ⇔ 𝑌, 
também será verdade que X ⇒ Y e que Y ⇒ X.
No exemplo anterior, trabalhamos com a relação de equivalência válida 𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏). 
Isso significa que 𝑎 ∧ 𝑏 ⇒ ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) e que ~(~𝑎 ∨ ~𝑏) ⇒ 𝑎 ∧ 𝑏. Esse conhecimento será útil 
quando trabalharmos com argumentos lógicos na unidade III deste livro‑texto.
71
LÓGICA
 Saiba mais
É possível utilizar a teoria de conjuntos para verificar se uma expressão 
lógica é equivalente à outra. Se duas expressões são caracterizadas pelo 
mesmo padrão de diagramas de Venn‑Euler, significa que apresentam a mesma 
tabela‑verdade, ou seja, são equivalentes.
Você pode aprender sobre esse método no livro Lógica e álgebra de 
Boole, de Jacob Daghlian:
DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1995.
4.2.1 Equivalências notáveis
As equivalências são de grande interesse para o estudo da lógica. O projetista de um circuito digital, 
por exemplo, quer montar o circuito mais barato e conveniente possível, que gere o resultado esperado. 
Para isso, existem técnicas de redução de circuitos lógicos, que utilizam algumas equivalências já 
conhecidas como base para o procedimento.
Essas equivalências são denominadas equivalências notáveis, e aparecem com frequência nas 
diversas aplicações da lógica, inclusive na nossa linguagem. Por meio delas, podemos reconhecer 
sentenças que se comportam de forma equivalente a outras, ou seja, que apresentam a mesma 
informação, mesmo que de maneiras diferentes.
Apresentaremos, a seguir, algumas das principais equivalências notáveis tratadas no campo da lógica 
proposicional, divididas em oito categorias. Apresentaremos o formato simbólico das equivalências e, 
em sequência, uma breve explicação a respeito de seu formato.
Dupla negação
𝑎 ⇔ ~(~𝑎) 
A equivalência notável intitulada dupla negação indica que, ao negarmos determinada proposição 
duas vezes seguidas, voltamos à mesma informação que tínhamos antes de qualquer negação. Observe 
o exemplo seguinte.
𝑎: O cavalo é branco.
~(~𝑎): Não é verdade que o cavalo não é branco.
Se 𝑎 for uma proposição verdadeira, ~(~𝑎) será, necessariamente, uma proposição verdadeira, 
também. Do mesmo modo, se 𝑎 for uma proposição falsa, ~(~𝑎) será, necessariamente, uma proposição 
falsa. Afinal, negar uma proposição uma vez, troca o seu valor lógico. Negá‑la duas vezes seguidas faz 
com que o valor lógico original retorne à sentença.
72
Unidade II
Leis idempotentes
𝑎 ∧ 𝑎 ⇔ 𝑎
𝑎 ∨ 𝑎 ⇔ 𝑎
A idempotência é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser aplicadas diversas 
vezes, sem que o resultado se altere após a aplicação inicial. As leis idempotentes são as equivalências 
lógicas que nos dizem que, ao aplicar uma operação de conjunção ou de disjunção inclusiva entre uma 
proposição e ela mesma, simplesmente mantemos o valor lógico da proposição em questão. Vamos 
acompanhar um exemplo.
𝑎: o cavalo é branco.
𝑎 ∧ 𝑎: o cavalo é branco e é branco.
𝑎 ∨ 𝑎: o cavalo é branco ou é branco.
Nas três sentenças anteriores, estamos, basicamente, entregando sempre a mesma informação, em 
formatos distintos.
Leis comutativas
𝑎 ∧ 𝑏 ⇔ 𝑏 ∧ 𝑎
𝑎 ∨ 𝑏 ⇔ 𝑏 ∨ 𝑎
As leis comutativas dizem que ao relacionar duas proposições por uma operação de conjunção, 
podemos, livremente, inverter a ordem na qual elas aparecem na sentença composta, pois não mudará o 
seu valor lógico. Isso vale também para a operação de disjunção. Acompanhe o exemplo seguinte, onde 
aplicamos uma conjunção.
𝑎 ∧ 𝑏: o cavalo é branco e a casa é amarela.
𝑏 ∧ 𝑎: a casa é amarela e o cavalo é branco.
Notou que, nos dois formatos, dizemos basicamente a mesma coisa? Isso acontece porque 𝑎 ∧ 𝑏 e 
𝑏 ∧ 𝑎 são sentenças equivalentes entre si. O mesmo acontece se aplicarmos uma disjunção inclusiva, 
conforme o exemplo a seguir.
𝑎 ∨ 𝑏: o cavalo é branco ou a casa é amarela.
𝑏 ∨ 𝑎: a casa é amarela ou o cavalo é branco.
Temos que 𝑎 ∨ 𝑏 e 𝑏 ∨ 𝑎 são sentenças equivalentes entre si.
73
LÓGICA
 Observação
As leis comutativas apresentam duas equivalências notáveisdistintas. 
Uma diz que 𝑎 ∧ 𝑏 é equivalente a 𝑏 ∧ 𝑎, enquanto a outra diz que 𝑎 ∨ 𝑏 é 
equivalente a 𝑏 ∨ 𝑎. Não podemos misturar as duas equivalências: 𝑎 ∧ 𝑏 não 
é equivalente a 𝑏 ∨ 𝑎, por exemplo. Devemos ter a mesma cautela com as leis 
associativas, de De Morgan e distributivas, que veremos a seguir.
Leis associativas
(𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 ⇔ 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) 
(𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 ⇔ 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) 
As leis associativas permitem que troquemos a posição dos parênteses, quando temos o mesmo 
operador lógico relacionando três proposições distintas. O primeiro formato diz respeito à operação de 
conjunção. Nas sentenças a seguir, por exemplo, temos sentenças equivalentes entre si.
(𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐: o cavalo é branco e a casa é amarela. Além disso, a rosa é vermelha.
𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐): o cavalo é branco. Além disso, a casa é amarela e a rosa é vermelha.
O mesmo valeria para o operador de disjunção inclusiva, apresentado na segunda equivalência 
notável associativa.
 Observação
Na linguagem corrente, outros termos podem substituir os termos 
usuais dos conectivos lógicos. No exemplo anterior, usamos o termo “além 
disso” como uma conjunção aditiva, ou seja, que traz mais uma informação 
à sentença. Ele faz, portanto, o papel do conectivo “e”.
Leis de De Morgan
~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∨ ~𝑏
~(𝑎 ∨ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏
As leis de De Morgan são intituladas em homenagem ao matemático e lógico britânico Augustus 
De Morgan (1806–1871), responsável por sua formulação. Seus formatos permitem que troquemos um 
conectivo “e” por um conectivo “ou”, ou vice‑versa, mantendo a equivalência entre as expressões.
74
Unidade II
Vamos analisar o primeiro teorema exposto, ~(𝑎 ∧ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∨ ~𝑏. Ele diz que negar uma conjunção 
entre duas proposições é equivalente a negar cada uma dessas proposições individualmente e, em 
seguida, uni‑las com uma disjunção inclusiva. Desse modo, as seguintes sentenças em linguagem 
corrente são equivalentes.
~(𝑎 ∧ 𝑏): não é verdade que o cavalo é branco e a casa é amarela.
~𝑎 ∨ ~𝑏: o cavalo não é branco ou a casa não é amarela.
Vamos, agora, analisar o segundo teorema exposto, ~(𝑎 ∨ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏. Ele diz que negar 
uma disjunção inclusiva entre duas proposições é equivalente a negar cada uma dessas proposições 
individualmente e, em seguida, uni‑las com uma conjunção. Desse modo, as seguintes sentenças em 
linguagem corrente são equivalentes.
~(𝑎 ∨ 𝑏): não é verdade que o cavalo é branco ou a casa é amarela.
~𝑎 ∧ ~𝑏: o cavalo não é branco e a casa não é amarela.
Leis distributivas
𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐) 
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐) 
As leis distributivas se assemelham à propriedade distributiva da aritmética. Utilizando os conectivos 
“e” e “ou”, podemos distribuir o conectivo de fora dos parênteses para dentro dos parênteses.
Vamos dar um exemplo, em linguagem corrente, do segundo formato apresentado anteriormente, 
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) ⇔ (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐). De acordo com ele, as seguintes sentenças são equivalentes.
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐): Maria estuda lógica, ou, Maria estuda matemática e português.
(𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐): Maria estuda lógica ou matemática, e Maria estuda lógica ou português.
Condicionais
𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑏 → ~𝑎
𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏
Os formatos de equivalências partem de uma condicional entre duas proposições. No primeiro formato, 
𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑏 → ~𝑎, transformamos uma condicional em outra equivalente, trocando de posição o 
antecedente com o consequente e negando ambas as proposições. No segundo formato, 𝑎 → 𝑏 ⇔ ~𝑎 ∨ 𝑏, 
transformamos uma condicional em uma disjunção, negando a proposição que fazia o papel de antecedente.
75
LÓGICA
Desse modo, todas as sentenças em linguagem corrente expostas a seguir são equivalentes.
𝑎 → 𝑏: se estiver chovendo, então eu levarei um guarda‑chuva.
~𝑏 → ~𝑎: se eu não levei um guarda‑chuva, então não estava chovendo.
~𝑎 ∨ 𝑏: não está chovendo, ou eu levaria um guarda‑chuva.
 Lembrete
Em uma condicional 𝑎 → 𝑏, a primeira proposição, 𝑎, é chamada de 
antecedente, e a segunda, 𝑏, é chamada de consequente.
Bicondicionais
𝑎 ↔ 𝑏 ⇔ (𝑎 → 𝑏) ∧ (𝑏 → 𝑎) 
𝑎 ↔ 𝑏 ⇔ ~(𝑎 ⊻ 𝑏) 
Os formatos de equivalências partem de uma bicondicional entre duas proposições. No primeiro 
formato, 𝑎 ↔ 𝑏 ⇔ (𝑎 → 𝑏) ∧ (𝑏 → 𝑎) , transformamos uma bicondicional em duas condicionais. Se é 
verdade que 𝑎 ↔ 𝑏, então é verdade que 𝑎 → 𝑏 e também é verdade que 𝑏 → 𝑎.
No segundo formato, 𝑎 ↔ 𝑏 ⇔ ~(𝑎 ⊻ 𝑏) , transformamos uma bicondicional na negação 
de uma disjunção exclusiva. Se repararmos nas tabelas‑verdade das operações bicondicional e 
disjunção exclusiva, notamos que uma operação representa a negação da outra. Logo, 𝑎 ↔ 𝑏 é 
equivalente a ~(𝑎 ⊻ 𝑏).
As sentenças em linguagem corrente expostas a seguir são, portanto, equivalentes entre si.
𝑎 ↔ 𝑏: o número 10 é par se e somente se ele for divisível por 2.
(𝑎 → 𝑏) ∧ (𝑏 → 𝑎): se o número 10 é par, então ele é divisível por 2, assim como se o número 10 é 
divisível por 2, então ele é par.
~(𝑎 ⊻ 𝑏): não é verdade que, ou o número 10 é par, ou ele é divisível por 2.
76
Unidade II
Exemplo de aplicação
Observando as leis de De Morgan, escreva a frase logicamente equivalente à sentença “Não é verdade 
que Ana é pernambucana ou João é mineiro”.
Resolução
A sentença do enunciado é formada por duas proposições simples, descritas a seguir.
𝑎: Ana é pernambucana.
𝑏: João é mineiro.
Em linguagem simbólica, a sentença composta é descrita como ~(𝑎 ∨ 𝑏) . Logo, a lei de De Morgan 
que devemos considerar é a de formato ~(𝑎 ∨ 𝑏) ⇔ ~𝑎 ∧ ~𝑏. Nossa tarefa, portanto, será transformar 
a sentença do enunciado no formato ~𝑎 ∧ ~𝑏. Para isso, basta negarmos ambas as proposições simples 
e uni‑las com o conectivo “e”. Como resultado, temos: “Ana não é pernambucana e João não é mineiro”.
No Apêndice A, ao final deste livro‑texto, você encontrará um resumo das equivalências notáveis 
estudadas, apenas com a nomenclatura e o formato simbólico associado a cada uma delas. Utiliza esse 
resumo para consultas rápidas aos formatos estudados.
77
LÓGICA
 Resumo
Aprendemos que uma tabela‑verdade é um artifício utilizado para 
conhecer a saída de uma expressão lógica para todas as possíveis 
combinações de valores lógicos das entradas. Ao montarmos uma tabela 
como essa, temos a descrição completa do comportamento da expressão 
lógica, mesmo que não saibamos quais são os valores lógicos de suas entradas. 
Toda tabela‑verdade deve incluir a lista de todas as possíveis combinações 
de entradas, assim como a saída correspondente a cada uma dessas 
combinações, que corresponde ao valor lógico da proposição composta.
Aprendemos a fazer a montagem de uma tabela‑verdade, acompanhando 
um passo a passo que nos leva à estruturação de uma tabela para qualquer 
número de proposições simples existentes na expressão lógica em questão.
Também vimos a respeito de tautologias, contradições e equivalências. Uma 
tautologia é uma expressão lógica em que todas as linhas da tabela‑verdade 
resultam em V. Uma contradição é uma expressão lógica em que todas 
as linhas da tabela‑verdade resultam em F. Já uma contingência é uma 
expressão lógica cuja tabela‑verdade resulta em uma mistura, em qualquer 
proporção, de Vs e Fs.
Continuamos nossos estudos conhecendo as relações de implicação 
e de equivalência, que constituem comparações entre expressões lógicas. 
Dizer que “𝑋 implica 𝑌” significa que, sempre que 𝑋 for verdadeiro, 𝑌 será 
verdadeiro também. Dizer que “𝑋 é equivalente a 𝑌” significa que 𝑋 e 𝑌 
apresentarão exatamente a mesma coluna de saída em suas tabelas‑verdade.
Por fim, conhecemos algumas equivalências notáveis. Elas aparecem 
com frequência nas diversas aplicações da lógica, inclusive na nossa 
linguagem. Por meio delas, podemos reconhecer sentenças que se 
comportam de forma equivalente a outras, ou seja, que apresentam a 
mesma informação, mesmo que de maneiras diferentes.
78
Unidade II
 Exercícios
Questão1. (IBGP 2020, adaptada) Alice estava estudando para um concurso público e deparou com 
uma questão que solicitava a montagem da tabela‑verdade da seguinte expressão lógica: ~(P V ~Q).
Para solucionar o problema, ela montou a tabela‑verdade a seguir, em que V é “verdadeiro” e F é “falso”.
Tabela 38 
P Q ~Q P V~Q ~(P V ~Q)
F V
V V
V F
F F
O número de V encontrado na coluna P V ~Q multiplicado pelo número de F encontrado na última 
coluna é igual a
A) 1.
B) 6.
C) 9.
D) 4.
E) 8.
Resposta correta: alternativa C.
Análise da questão
Vamos preencher integralmente a tabela‑verdade do enunciado. Vejamos.
Tabela 39 
P Q ~Q P V~Q ~(P V ~Q)
F V F F V
V V F V F
V F V V F
F F V V F
79
LÓGICA
Da tabela‑verdade, vemos que:
• o número de V encontrado na coluna P V ~Q é igual a 3;
• o número de F encontrado na última coluna é igual a 3.
Logo, o número de V encontrado na coluna P V ~Q multiplicado pelo número de F encontrado na 
última coluna é igual a 9, resultado do produto 3x3.
Questão 2. (Iades 2019, adaptada) Considere as proposições a seguir.
• A: O número 10 é ímpar.
• B: A raiz quadrada de 16 é um número inteiro.
Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
A) A conjunção entre as duas proposições tem valor lógico verdade (V).
B) A disjunção entre as duas proposições tem valor lógico falso (F).
C) A condicional entre as duas proposições tem valor lógico verdade (V).
D) A bicondicional entre as duas proposições tem valor lógico verdade (V).
E) A negação de ambas as proposições tem valor lógico falso (F).
Resposta correta: alternativa C.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: a proposição A tem valor lógico falso (F), visto que 10 não é um número ímpar. A proposição B 
tem valor lógico verdade (V), visto que a raiz quadrada de 16 é um número inteiro, igual a 4.
A conjunção entre as duas proposições tem valor lógico falso (F), conforme mostrado na 
tabela‑verdade a seguir.
Tabela 40 
A B A ∧ B
F V F
80
Unidade II
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a proposição A tem valor lógico falso (F), visto que 10 não é um número ímpar. 
A proposição B tem valor lógico verdade (V), visto que a raiz quadrada de 16 é um número 
inteiro, igual a 4.
A disjunção entre as duas proposições tem valor lógico verdade (V), conforme mostrado na 
tabela‑verdade a seguir.
Tabela 41 
A B A V B
F V V
C) Alternativa correta.
Justificativa: a proposição A tem valor lógico falso (F), visto que 10 não é um número ímpar. 
A proposição B tem valor lógico verdade (V), visto que a raiz quadrada de 16 é um número 
inteiro, igual a 4.
A condicional entre as duas proposições tem valor lógico verdade (V), conforme mostrado na 
tabela‑verdade a seguir.
Tabela 42 
A B A → B
F V V
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: a proposição A tem valor lógico falso (F), visto que 10 não é um número ímpar. 
A proposição B tem valor lógico verdade (V), visto que a raiz quadrada de 16 é um número 
inteiro, igual a 4.
A bicondicional entre as duas proposições tem valor lógico falso (F), conforme mostrado na 
tabela‑verdade a seguir.
Tabela 43 
A B A ↔ B
F V F
81
LÓGICA
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: a proposição A tem valor lógico falso (F), visto que 10 não é um número ímpar. A proposição B 
tem valor lógico verdade (V), visto que a raiz quadrada de 16 é um número inteiro, igual a 4.
A negação da proposição A tem valor lógico verdade (V), a não falso (F), conforme mostrado na 
tabela‑verdade a seguir.
Tabela 44 
A B ~A ~B
F V V F