Cálculos Matemáticos Básicos

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Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-x^2} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução geral para equações diferenciais lineares de 
primeira ordem. 
 
52. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \). Explicação: Aplicamos 
a regra do quociente e a derivada da tangente. 
 
53. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: O limite é \( 1/2 \). Explicação: Utilizamos a expansão de Taylor para \( \cos(x) 
\) em torno de \( x = 0 \). 
 
54. Problema: Resolva a equação \( \log_5(x) = 2 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 25 \). Explicação: Usamos a definição de logaritmo para 
resolver a equação. 
 
55. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \in 
 
fty} \frac{4x^3 + 2x + 1}{3x^3 - 5} \). 
 Resposta: O limite é \( 4/3 \). Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^3 \) e 
usamos o fato de que os termos de maior grau dominam quando \( x \) tende ao infinito. 
 
56. Problema: Encontre a integral indefinida de \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 Resposta: A integral de \( h(x) \) é \( H(x) = \ln|x + \sqrt{x^2 + 1}| + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. Explicação: Utilizamos a técnica de integração por substituição. 
 
57. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \). 
 Resposta: O domínio é \( -2 \leq x \leq 2 \). Explicação: A função é indefinida para valores 
de \( x \) que fazem com que o argumento do denominador seja negativo ou zero. 
 
58. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = -2\sin(x)\cos(x) \). Explicação: Aplicamos a regra da 
cadeia e a derivada do cosseno.