Problemas de Cálculo

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Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} + \frac{1}{2}\sin(x) \), onde \( C_1 
\) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. Explicação: Usamos o método da solução 
particular mais a solução geral da equação homogênea. 
 
116. Problema: Determine o valor de \( \cos(\pi/3) \). 
 Resposta: \( \cos(\pi/3) = 1/2 \). Explicação: Usamos as propriedades do triângulo 
equilátero ou do círculo unitário. 
 
117. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 
x^2 \). 
 Resposta: A área é \( 4/3 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre as 
duas funções no intervalo de interseção. 
 
118. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' - 3xy = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{x^2/2} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução geral para equações diferenciais lineares de 
primeira ordem. 
 
119. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \). Explicação: Aplicamos a regra 
do quociente e a derivada do cosseno. 
 
120. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \tan(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
121. Problema: Resolva a equação \( 4^x = 16 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \). Explicação: Aplicamos a função inversa do logaritmo 
natural para encontrar o valor de \( x \). 
 
122. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
123. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \).