Problemas de Matemática

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Resposta: \( \sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \). Explicação: Usamos as propriedades do triângulo 
isósceles ou do círculo unitário. 
 
147. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 
x^2 \) no intervalo \( [0, 2] \). 
 Resposta: A área é \( 8/3 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre as 
duas funções no intervalo de interseção. 
 
148. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' + 2xy = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-x^2} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução geral para equações diferenciais lineares de 
primeira ordem. 
 
149. Problema: Encontre a derivada de \( f(x 
 
) = \frac{1}{\cos^2(x)} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = -2\frac{\sin(x)}{\cos^3(x)} \). Explicação: Aplicamos a 
regra do quociente e a derivada do cosseno. 
 
150. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \sin(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
151. Problema: Resolva a equação \( 5^x = 125 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). Explicação: Aplicamos a função inversa do logaritmo 
natural para encontrar o valor de \( x \). 
 
152. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4}}{3x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
153. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 7y' + 10y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + C_3e^{-5x} \), onde \( C_1 \), \( 
C_2 \) e \( C_3 \) são constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução