Matematica em açao (90)

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54. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Utilizamos a identidade 
trigonométrica \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) e integramos termo a termo. 
 
55. Problema: Resolva a equação \( 7^x = 49 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \). Explicação: Como \( 49 = 7^2 \), temos \( x = 2 \). 
 
56. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3\sqrt{x^2 + 1}}{2x - 1} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). Explicação: Dividindo o numerador e o denominador 
por \( x \) e aplicando a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{3}{2} \). 
 
57. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\tan(x)}{\sin(x)} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \). Explicação: Utilizamos a 
regra do quociente e a derivada da função tangente. 
 
58. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 Resposta: A integral de \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) é \( \arcsin(x) + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. Explicação: Esta é a integral da função seno inverso. 
 
59. Problema: Resolva a equação \( \log_4(x + 3) = 2 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 13 \). Explicação: A equação é equivalente a \( 4^2 = x + 3 \), 
portanto \( x = 13 \). 
 
60. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 Resposta: O limite é 2. Explicação: Este é o limite fundamental que define a derivada da 
função exponencial. 
 
61. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \tan^2(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = 2\tan(x)\sec^2(x) \). Explicação: Utilizamos a 
regra da cadeia e a derivada da função tangente. 
 
62. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^1 \frac{1}{x + 1} \, dx \).