Matematica em açao (92)

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70. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{2 + \cos(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Utilizamos a substituição \( 
u = \tan(\frac{x}{2}) \) para simplificar a integral. 
 
71. Problema: Resolva a equação \( \log_2(2x - 3) = 4 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 11 \). Explicação: A equação é equivalente a \( 2^4 = 2x - 3 \), 
portanto \( x = 11 \). 
 
72. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 3}{2x^3 + x - 2} \). 
 Resposta: O limite é 0. Explicação: Ao dividir todos os termos por \( x^3 \) e aplicar a 
regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{4}{2x} - \frac{3}{x^3} + 
\frac{1}{x^3} - \frac{2}{x^3} \), e todos os termos tendem a zero conforme \( x \) se aproxima 
do infinito. 
 
73. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \). Explicação: Utilizamos a 
regra da potência para derivar a função. 
 
74. Problema: Calcule a integral indefinida de \( e^x \cos(x) \). 
 Resposta: A integral de \( e^x \cos(x) \) é \( \frac{1}{2}(e^x(\sin(x) + \cos(x))) + C \), onde \( 
C \) é uma constante de integração. Explicação: Utilizamos a integração por partes para 
resolver a integral. 
 
75. Problema: Resolva a equação \( 3^{2x} = 81 \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{2}{3} \). Explicação: Como \( 81 = 3^4 \), temos \( 2x = 4 
\), então \( x = \frac{4}{2} = \frac{2}{3} \). 
 
76. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25x^2 + 3}}{3x + 2} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{5}{3} \). Explicação: Dividindo o numerador e o denominador 
por \( x \) e aplicando a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{5}{3} \). 
 
77. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = -\frac{1}{(2x + 1)\sqrt{2x + 1}} \). Explicação: 
Utilizamos a regra da potência para derivar a função.