Como resolvo essa questão de matemática da Fuvest 1992 ?

Seja x um número inteiro, assim, temos que resolver a seguinte equação:

x + (x + 1) + (x + 2) = x(x+1)(x+2)

3x + 3 = x(x^2 + 3x + 2)

3x + 3 = x^3 + 3x^2 + 2x

x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0

Quando eu tenho que resolver uma equação de terceiro grau, a primeira coisa que eu tento fazer é encontrar uma raiz através do método da substituição. Então, vou arriscando alguns valores que não vão dar muito trabalho no momento do cálculo, senão nem compensa.

Uma das raízes dessa equação por exemplo é o 1, agora, a partir dele eu tento descobrir o resto, simplesmente dividindo a equação por x - 1.

Fazendo essa divisão vc encontra o polinômio x^2 + 4x + 3, agora temos:

(x - 1)(x^2 + 4x + 3) = 0

Agora, sendo x diferente de 1, temos que x^2 + 4x + 3 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos as raízes -1 e -3.

Assim, os conjuntos (x, x+1, x+2) que satisfazem a condição inicial dada são: 

(-1,0,1)

(1,2,3)

(3,4,5)