Problemas de Matemática

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37. Problema: Determine a equação da linha tangente à curva \( y = x^2 - 4x + 5 \) no ponto 
\( (2, 1) \). 
 Resposta: \( y = 2x - 3 \). Explicação: Use a derivada da função para encontrar a 
inclinação da reta tangente e depois use o ponto dado para encontrar a equação da reta. 
 
38. Problema: Encontre a solução para o sistema de equações: \( 3x - y = 5 \) e \( x + 2y = 3 
\). 
 Resposta: \( x = 2 \) e \( y = -1 \). Explicação: Use substituição ou eliminação para 
resolver o sistema. 
 
39. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Explicação: Use a regra da cadeia para derivar a 
função. 
 
40. Problema: Determine o valor de \( \csc(30^\circ) \). 
 Resposta: 2. Explicação: \( \csc(30^\circ) = \frac{1}{\sin(30^\circ)} = \frac{2}{1} = 2 \). 
 
41. Problema: Resolva a equação \( \log_3(x + 1) - \log_3(x) = 1 \). 
 Resposta: \( x = 2 \). Explicação: Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a 
equação. 
 
42. Problema: Calcule o produto vetorial entre os vetores \( \vec{u 
 
} = \langle 2, 3, -1 \rangle \) e \( \vec{v} = \langle -1, 4, 2 \rangle \). 
 Resposta: \( \langle -10, -5, 11 \rangle \). Explicação: O produto vetorial é calculado 
usando a regra da mão direita. 
 
43. Problema: Determine o valor de \( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{4} \). Explicação: \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} 
\), então \( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \). 
 
44. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\cos(2x) \). Explicação: Use a regra da cadeia para derivar a função.