Cálculos Matemáticos Variados

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Resposta: A integral é \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \). Explicação: A integral de \( e^{2x} \) é \( 
\frac{1}{2}e^{2x} \). 
 
66. Problema: Resolva a equação \( \frac{x}{3} + 2 = \frac{5}{3} \). 
 Resposta: A solução é \( x = 1 \). Explicação: Isolate \( x \) e resolva a equação. 
 
67. Problema: Simplifique a expressão \( \frac{2x^3}{x^2} \). 
 Resposta: A expressão simplificada é \( 2x \). Explicação: Divida os termos e simplifique. 
 
68. Problema: Encontre o limite de \( \lim_{x \to \pi 
 
/2} \frac{\cos(x)}{x - \frac{\pi}{2}} \). 
 Resposta: O limite é \( -1 \). Explicação: Simplifique a expressão e use a definição de 
derivada para o cosseno. 
 
69. Problema: Determine a derivada de \( y = \frac{1}{e^x} \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = -\frac{1}{e^x} \). Explicação: Use a regra do quociente para 
encontrar a derivada. 
 
70. Problema: Calcule a área sob a curva \( y = \sec(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \ln(\sqrt{2} + 1) \) unidades quadradas. Explicação: Use a fórmula 
da integral definida. 
 
71. Problema: Resolva a inequação \( 4x^2 + 4x + 1 > 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x \neq -\frac{1}{2} \). Explicação: A inequação é sempre 
verdadeira, exceto em \( x = -\frac{1}{2} \). 
 
72. Problema: Determine a soma dos termos da sequência geométrica \( 4, 12, 36, 108, 
\ldots, 2916 \). 
 Resposta: A soma é \( 3900 \). Explicação: Use a fórmula da soma dos termos de uma 
sequência geométrica. 
 
73. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{-x} \).