matematica todos-152

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54. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 1}}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 0 \). Explicação: A raiz quadrada cresce mais lentamente do que 
qualquer função polinomial. 
 
55. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \arcsin(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). Explicação: 
Utilizamos a definição do arcoseno. 
 
56. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e^2] \). 
 Resposta: A área é \( e^2 - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Calculamos as 
interseções das curvas e integramos a diferença das funções entre esses limites. 
 
57. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 2y' + y = x^2 \). 
 Resposta: A solução é \( y = C_1 e^{-x} + C_2 xe^{-x} + x^2 - 2x - 2 \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
58. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{1}{2} \). Explicação: Utilizamos a definição do cosseno. 
 
59. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). Explicação: 
Utilizamos a regra do logaritmo natural. 
 
60. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int e^x \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{2}(e^x(\sin(x) + \cos(x))) + C \), onde \( C \) é 
uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos integração por partes. 
 
61. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = Ce^{-x^2} - \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x) \), onde \( C 
\) é uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
62. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \).