Derivadas de Funções

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8. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = x^3\cos(x) \). 
 Resposta: \( g'(x) = 3x^2\cos(x) - x^3\sin(x) \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do produto para derivar o produto de duas funções. 
 
9. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função trigonométrica 
dividida por \(x\). 
 
10. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^x \cos(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^x(\cos(x) - \sin(x)) \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do produto para derivar o produto de uma função 
exponencial e uma função trigonométrica. 
 
11. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{2}{x} \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos para simplificar a função antes de 
derivar. 
 
12. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sqrt{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
13. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2x\ln(x) + x \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do produto para derivar o produto de duas funções. 
 
14. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( g'(x) = -\frac{\cos(x)}{x^2} - \frac{2\sin(x)}{x^3} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
15. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = e^{2x} \sin(x) \).