Problemas de Cálculo e Álgebra

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Explicação: Utilizamos a regra do quociente e a derivada do logaritmo natural para 
encontrar a derivada em \( x = e \). 
 
56. Problema: Resolva a equação \( e^x = \ln(x) \). 
 Resposta: A equação não tem solução em termos de funções elementares. 
 Explicação: Esta equação não pode ser resolvida em termos de funções elementares. 
 
57. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \tan(x) = 1 \) no 
intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos as propriedades das funções trigonométricas para encontrar o 
valor de \( x \) no intervalo dado. 
 
58. Problema: Se \( f(x) = e^{\sin(x)} \), encontre \( f''\left(\frac{\pi}{2}\right) \). 
 Resposta: \( f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a segunda derivada da função exponencial 
para encontrar a segunda derivada em \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 
59. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = \cos(x) \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o método de integração para encontrar a área sob a curva. 
 
60. Problema: Se \( f(x) = \ln(\sin(x^2)) \), encontre \( f'(0) \). 
 Resposta: \( f'(0) = 0 \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural para 
encontrar a derivada em \( x = 0 \). 
 
61. Problema: Determine a soma dos coeficientes binomiais na expansão de \( (4x - y)^2 
\). 
 Resposta: A soma dos coeficientes é \( 16 \). 
 Explicação: Utilizamos o Teorema do Binômio de Newton para expandir \( (4x - y)^2 \) e 
somar os coeficientes.