Problemas de Área e Volume

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35. Problema: Determine a área de um triângulo com vértices (0,0), (6,0) e (3,4). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{2} \times |(0 \times 4 - 6 \times 4 + 3 \times 0) - (0 \times 3 - 
6 \times 0 + 3 \times 0)| = 12 \, \text{u}^2 \). Explicação: A área de um triângulo pode ser 
encontrada usando a fórmula do determinante. 
 
36. Problema: Qual é a área da região sombreada de um quadrado inscrito em um círculo 
de raio 5 cm? 
 Resposta: A área é \( 25\pi - 50 \) ou aproximadamente \( 75.4 \, \text{cm}^2 \). 
Explicação: A área do círculo menos a área do quadrado. 
 
37. Problema: Determine a área de um polígono regular com 10 lados, cada lado medindo 
6 cm. 
 Resposta: A área é \( \frac{10 \times 6^2}{4 \times \tan(\frac{\pi}{10})} \) ou 
aproximadamente \( 176.78 \, \text{cm}^2 \). Explicação: A área de um polígono regular é 
dada pela fórmula \( \frac{N \times \text{lado}^2}{4 \times \tan(\frac{\pi}{N})} \), onde \( N \) 
é o número de lados. 
 
38. Problema: Qual é o volume de uma esfera inscrita em um cubo de aresta 10 cm? 
 Resposta: O volume é \( \frac{4}{3} \times \pi \times (5)^3 = \frac{500\pi}{3} \, \text{cm}^3 
\) ou aproximadamente \( 523.6 \, \text{cm}^3 \). Explicação: O raio da esfera é metade da 
aresta do cubo. 
 
39. Problema: Determine a área da região sombreada de um círculo de raio 10 cm com 
um triângulo equilátero inscrito. 
 Resposta: A área é \( 100\pi - \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = 100\pi - 25\sqrt{3} \) ou 
aproximadamente \( 247.29 \, \text{cm}^2 \). Explicação: A área do círculo menos a área 
do triângulo. 
 
40. Problema: Qual é a área da região comum a dois círculos de raio 6 cm que se 
sobrepõem parcialmente? 
 Resposta: A área é \( 72\pi - 36\sqrt{3} \) ou aproximadamente \( 68.17 \, \text{cm}^2 \). 
Explicação: A área das duas circunferências menos a área do losango formado pela 
interseção. 
 
41. Problema: Determine a área da região delimitada pelo eixo x e a curva \( y = x^2 - 4x + 3 
\). 
 Resposta: A área é \( \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \frac{13}{