Matematica todos os anos (138)

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65. Problema: Calcule \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 0. 
 Explicação: Utilizamos a definição de limite para avaliar a função quando \( x \) se 
aproxima do infinito. 
 
66. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: \( 2x - y = 3 \) e \( 4x + 2y = 10 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 1 \) e \( y = 1 \). 
 Explicação: Podemos resolver o sistema usando substituição ou eliminação para 
encontrar os valores de \( x \) e \( y \). 
 
67. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente 
no ponto dado e, em seguida, usamos a equação da reta para encontrar a equação da 
tangente. 
 
68. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = \ln(x + 1) \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = e^x - 1 \). 
 Explicação: Trocamos \( f(x) \) por \( y \), trocamos \( x \) por \( f^{-1}(x) \), e resolvemos 
para \( f^{-1}(x) \). 
 
69. Problema: Encontre as assíntotas verticais da função \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \). 
 Resposta: As assíntotas verticais são \( x = -2 \) e \( x = 2 \). 
 Explicação: A função tem assíntotas verticais onde o denominador se torna zero, ou 
seja, em \( x = -2 \) e \( x = 2 \). 
 
70. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrarias. 
 Explicação: A equação característica associada é \( r^2 - 4r + 4 = 0 \), que tem uma raiz 
dupla \( r = 2 \), então a solução geral é da forma \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} \). 
 
71. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: O valor da integral é 2.