Problemas de Cálculo e Geometria

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Explicação: Utilizamos a derivada da função para encontrar a inclinação da reta normal 
e a equação da reta. 
 
25. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = x^3\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 1\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{\pi}{5} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
26. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\) e \(y = \ln(x)\) 
entre \(x = 1\) e \(x = e\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
27. Problema: Determine a equação da parábola com foco em (-2, 3) e diretriz \(x = 2\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = -\frac{1}{4}(x+2)^2 + 3 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o foco e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
28. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = e^x\) e o eixo x entre \(x = 
0\) e \(x = 2\). 
 Resposta: A área é \( e^2 - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
29. Problema: Determine a equação da elipse com focos em \( (0, 3) \) e \( (0, -3) \) e semi-
eixo maior de comprimento 5. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e o comprimento do semi-eixo maior para 
encontrar a equação. 
 
30. Problema: Calcule o volume do sólido