Problemas de Cálculo Matemático

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gerado pela rotação da região limitada pela curva \(y = x^2\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 
2\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{16}{3} \pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
31. Problema: Encontre a área da região limitada pela curva polar \(r = 3\sin(2\theta)\). 
 Resposta: A área é \( 3\pi \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da área para curvas polares \( \frac{1}{2} 
\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta \). 
 
32. Problema: Determine a equação da hipérbole com focos em \( (1, 2) \) e \( (1, -2) \) e 
distância entre os vértices igual a 6. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{(y-2)^2}{4} - \frac{(x-1)^2}{9} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da hipérbole e a distância entre os vértices para 
encontrar a equação. 
 
33. Problema: Calcule o comprimento da curva \(y = \cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x = 
\frac{\pi}{2}\). 
 Resposta: O comprimento da curva é 1 unidade. 
 Explicação: Utilizamos a fórmula do comprimento de arco \( \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 
(f'(x))^2} dx \). 
 
34. Problema: Determine a equação da reta normal à curva \(y = \frac{1}{x}\) no ponto \(x = 
1\). 
 Resposta: A equação da reta normal é \( y = -x + 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a derivada da função para encontrar a inclinação da reta normal 
e a equação da reta. 
 
35. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = \sqrt{x}\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 4\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{256}{15} \pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução.