CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - AV 2

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ATIVIDADE 2 - CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL
1
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função qualquer é o método da iteração linear. Considere , em que . Assim, a partir do uso do método linear e considerando a sequência de raízes , calcule o . Assinale a alternativa correta.
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função f(x)=2x²+sem(x)-10, em que x0=2. Assim, a partir do uso do método linear e considerando a sequência de raízes xn, calcule o x3. Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração, encontramos, conforme podemos verificar na tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	2
	 
	1
	2,13198295
	0,131982947
	2
	2,13931949
	0,007336548
	3
	2,13977838
	0,000458881
· 
2,13931949.
· 
2,13235678.
· 
2,13980919.
· 
2,13198295.
· 
2,13977838.
2
Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos isolá-las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e encontramos . Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para calcular a raiz da função  , pelo método de Newton, com uma tolerância , no intervalo [1;2].
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , no intervalo, com uma tolerância, precisamos de pelo menos 4 iterações, conforme tabela a seguir:
 
	
	
	
	
	
	0
	2
	2,69314718
	4,5
	 
	1
	1,40152285
	0,30182569
	3,51655529
	0,598477151
	2
	1,31569292
	0,00541132
	3,39144161
	0,085829929
	3
	1,31409734
	1,8099E-06
	3,38917331
	0,001595582
	4
	1,3140968
	2,025E-13
	3,38917255
	5,34032E-07
· 
6 iterações.
· 
4 iterações.
· 
3 iterações.
· 
5 iterações.
· 
2 iterações.
 
3
Um dos métodos numéricos usado na resolução de equações/funções é o método da iteração linear, também conhecido como método do ponto fixo. A partir da utilização do método citado, calcule  em relação à sequência de raízes aproximadas da raiz da função  no intervalo de . Para tanto, faça  e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a, obtemos, como podemos verificar na tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	-0,2
	 
	1
	-0,6440364
	0,444036421
	2
	-0,5893074
	0,054728994
	3
	-0,5957933
	0,006485872
· 
0,006486.
· 
0,054729.
· 
0,003458.
· 
0,000772.
· 
0,444036.
4
Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação:
Se ,  e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerânciae o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo  de comprimento 1, ou seja, ( e  inteiros) e .
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	-1
	 
	1
	-0,4128918
	0,587108208
	2
	-0,3999897
	0,012902141
	3
	-0,3996868
	0,000302884
· 
-0,4000002.
· 
-0,3996868.
· 
-0,4131667.
· 
-0,3999897.
· 
-0,4003081.
 
5
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o método da iteração linear. Isole a raiz positiva da função polinomial  em um intervalo  ( e  naturais) de comprimento 1, isto é,  Calcule a quarta ( ) aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	1,4
	 
	1
	1,10048178
	0,299518223
	2
	1,08125569
	0,019226082
	3
	1,07998603
	0,001269666
· 
1,07989647.
· 
1,10048178.
· 
1,07998603.
· 
1,08125569.
· 
1,07990202.
6
Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o método de Newton. Sendo assim, considere a função  e uma tolerância . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz  pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função, percebemos que o número mínimo de iterações é igual a 3, conforme tabela a seguir:
 
	
	
	
	
	
	0
	3,3
	1,60892373
	6,52810763
	 
	1
	3,05353903
	0,06096316
	6,03339181
	0,24646097
	2
	3,04343474
	0,00010247
	6,01310873
	0,01010429
	3
	3,0434177
	2,9149E-10
	6,01307452
	1,7042E-05
· 
5.
· 
3.
· 
9 .
· 
1.
· 
7.
7
Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, uma vez que ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, utilizando o método de Newton para a função , e sabendo que a raiz . Assinale a alternativa que indica qual o valor de .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função, podemos verificar, por meio da tabela seguir, que.
 
	
	
	
	
	
	0
	-1,4
	-1,0600657
	2,97089946
	 
	1
	-1,0431836
	-0,0362392
	2,72802289
	0,35681642
	2
	-1,0298995
	-8,952E-05
	2,7144945
	0,01328407
	3
	-1,0298665
	-5,6E-10
	2,71446054
	3,2978E-05
· 
-1,0431836.
· 
-1,0375845.
· 
-1,0323456.
· 
-1,0298995.
· 
-1,0298665.
8
Uma fábrica de alimentos deseja confeccionar uma embalagem para uma bebida para exportação. A embalagem deve ser um veículo em formato de paralelepípedo que possui as seguintes proporções:
Em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Para  manter a proporção, a dimensão z deve ser uma soma de um múltiplo da dimensão x com 1, pois a empresa precisa deixar uma parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei.  Além disso, a empresa deseja que o volume da embalagem seja igual a 500 ml, ou seja, 500 .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função, determinamos que, conforme a seguinte tabela:
 
	
	
	
	
	
	0
	5
	200
	705
	 
	1
	4,71631206
	10,9006033
	628,875057
	0,28368794
	2
	4,69897856
	0,03911392
	624,364658
	0,0173335
	3
	4,69891591
	5,0968E-07
	624,348386
	6,2646E-05
· 
.
· 
.
· 
.
· 
.
· 
.
 
9
Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
Suponha que sejam conhecidos  e . Usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerânciae o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo  de comprimento 1, ou seja, ( e  naturais) e .
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	0,2
	 
	1
	0,6596008
	0,459600799
	2
	0,78384043
	0,124239632
	3
	0,81180133
	0,027960901
	4
	0,8176584
	0,005857072
· 
0,8176584.
· 
0,81917211.
· 
0,78384043.
· 
0,8188639.
· 
0,81180133.
10
Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante disso, considerando ,  e uma função de iteração  convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes  . Assinale a alternativa que corresponde ao valor de .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a seguinte tabela:
 
	
	
	
	0
	1,9
	 
	1
	1,16133316
	0,738666842
	2
	1,36761525
	0,206282096
	3
	1,29009217
	0,077523087
	4
	1,31685381
	0,026761642
· 
1,16133316.
· 
1,36761525.
· 
1,31685381.
· 
1,3098133.
· 
1,29009217.
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