Treinando a matematica-131

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36. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \ln(x)\) e \(y = x\) entre 
\(x = 1\) e \(x = e\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
37. Problema: Determine a equação da parábola com foco em (-1, 2) e diretriz \(y = 4\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o foco e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
38. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = \sin(x)\) entre \(x = 0\) e \(x 
= \pi\). 
 Resposta: A área é 2 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
39. Problema: Determine a equação da elipse com focos em \( (2, 1) \) e \( (-2, 1) \) e 
distância focal igual a 6. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x-2)^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e a distância focal para encontrar a 
equação. 
 
40. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = e^x\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 1\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \pi(e^2 - 1) \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
41. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \ln(x)\) e \(y = x^2\) 
entre \(x = 1\) e \(x = e\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas.