Treinando a matematica-134

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Resposta: A área é \( 8 - \frac{8}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
54. Problema: Determine a equação da elipse com centro em \( (-1, 2) \) e vértices em \( (-
1, 5) \) e \( (-1, -1) \). 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e a distância entre os vértices para 
encontrar a equação. 
 
55. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = x\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 1\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{\pi}{2} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
56. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) 
entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: A área é aproximadamente 0.431 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
57. Problema: Determine a equação da parábola com foco em (-2, 3) e diretriz \(y = 7\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( x = -\frac{1}{8}(y-3)^2 - 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o foco e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
58. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = e^x\) entre \(x = 0\) e \(x = 
\ln(2)\). 
 Resposta: A área é \( e^{\ln(2)} - 1 = 2 - 1 = 1 \) unidade quadrada. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva.