Problemas de Cálculo e Geometria

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78. Calcule a integral definida de f(x) = sen(x) de π/6 a π/3. 
 Resposta: A integral definida é 1/2. Explicação: Integre a função e aplique os limites de 
integração. 
 
79. Determine os pontos de interseção entre a parábola y = x² - x + 2 e a reta y = 3x + 1. 
 Resposta: O ponto de interseção é (-1, 2). Explicação: Igualando as duas equações e 
resolvendo para x e y. 
 
80. Encontre a equação da reta tangente à curva y = e^x no ponto (0, 1). 
 Resposta: A equação da tangente é y = x + 1. Explicação: Util 
 
ize a derivada da função exponencial para encontrar a inclinação da tangente e, em 
seguida, aplique a fórmula ponto-inclinação. 
 
81. Determine a área da região limitada pelas curvas y = x² e y = 3 - x. 
 Resposta: A área da região é 5/2 unidades quadradas. Explicação: Encontre os pontos 
de interseção das duas curvas e calcule a área entre eles. 
 
82. Calcule a derivada de segunda ordem da função f(x) = e^x - x. 
 Resposta: A derivada segunda de f(x) é f''(x) = e^x - 1. Explicação: Derive a função duas 
vezes. 
 
83. Encontre a solução geral da equação diferencial y'' - 2y' + y = 0. 
 Resposta: A solução geral é y(x) = (C1 + C2x)e^x, onde C1 e C2 são constantes. 
Explicação: Resolva a equação característica e utilize a fórmula geral. 
 
84. Determine os pontos de interseção entre a hipérbole x²/9 - y²/16 = 1 e a reta y = -x + 3. 
 Resposta: Os pontos de interseção são (3, 0) e (-3, 6). Explicação: Substitua y na 
equação da hipérbole pela expressão da reta. 
 
85. Encontre a equação da tangente à curva y = cos(x) no ponto (π/2, 0). 
 Resposta: A equação da tangente é y = -x + π/2. Explicação: Utilize a derivada da função 
trigonométrica para encontrar a inclinação da tangente e, em seguida, aplique a fórmula 
ponto-inclinação.