Exercicio de matematica-134

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14. Problema: Encontre a solução para a inequação \( x^2 - 4x > 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x < 0 \) ou \( x > 4 \). Fatoramos a expressão para encontrar os 
intervalos onde é positiva. 
 
15. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \), que é um resultado fundamental em cálculo. 
 
16. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \). Usamos a regra do 
quociente e a regra da potência. 
 
17. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo x no 
intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \). Integramos a função no intervalo dado. 
 
18. Problema: Determine a solução para a equação \( \log(x) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 100 \). Aplicamos a definição de logaritmo. 
 
19. Problema: Resolva a inequação \( 3x^2 - 4x - 5 \geq 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x \leq -\frac{1}{3} \) ou \( x \geq \frac{5}{3} \). Encontramos os 
intervalos onde a parábola é positiva. 
 
20. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 Resposta: O limite é \( 3 \). Podemos simplificar a expressão para \( x^2 + x + 1 \), que é 
contínua em \( x = 1 \). 
 
21. Problema: Encontre a segunda derivada de \( y = e^x \). 
 Resposta: A segunda derivada é \( y'' = e^x \). A derivada de \( e^x \) é \( e^x \) para todas 
as ordens. 
 
22. Problema: Determine a integral indefinida de \( f(x) = \cos(2x) \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração.