Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

Explicação: Utilizamos a regra do quociente e a regra da cadeia para encontrar a 
derivada. 
 
33. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) 
\). 
 Resposta: \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função para encontrar a inclinação da reta 
tangente e usamos o ponto dado para encontrar a equação da reta. 
 
34. Problema: Resolva a equação \( 2^x = 32 \). 
 Resposta: \( x = 5 \). 
 Explicação: Aplicamos o logaritmo na base 2 em ambos os lados da equação para 
resolver. 
 
35. Problema: Calcule a integral indef 
 
inida de \( \int \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \). 
 Explicação: Utilizamos a integração direta para calcular a integral. 
 
36. Problema: Determine o vértice da parábola \( y = x^2 + 4x + 3 \). 
 Resposta: \( (-2, -1) \). 
 Explicação: Completamos o quadrado para encontrar a forma padrão da equação da 
parábola e então identificamos o vértice. 
 
37. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 + 1 \). 
 Resposta: \( y = \frac{x^3}{3} + x + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial em relação a \( x \). 
 
38. Problema: Encontre a equação da circunferência com centro em \( (-3, 4) \) e que 
passa pelo ponto \( (1, 2) \). 
 Resposta: \( (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da equação da circunferência e substituímos as 
coordenadas do centro e do ponto dado.