Cálculo e Derivadas

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Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
9. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
10. Problema: Determine o valor de \( k \) para que a reta \( y = 2x + k \) seja tangente à 
curva \( y = x^2 - 3x \). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e suas derivadas para encontrar o valor de \( k 
\). 
 Explicação: Estabelecemos a condição de tangência e resolvemos para \( k \). 
 
11. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} \). 
 Resolução: Aplicamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
12. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \cos(x) \). 
 Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada. 
 Explicação: Aplicamos as regras de derivação duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
13. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = 4x \) no 
intervalo \( 0 \leq x \leq 2 \). 
 Resolução: Calculamos a diferença entre as duas integrais definidas no intervalo dado. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas 
curvas. 
 
14. Problema: Determine os pontos de máximo local da função \( f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x 
+ 4 \). 
 Resolução: Encontramos os pontos críticos e utilizamos o teste da segunda derivada 
para classificar os pontos como máximos ou mínimos. 
 Explicação: Usamos o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos 
críticos.