Problemas de Cálculo

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14. Problema: Encontre os pontos de inflexão da curva \( y = x^3 - 3x \). 
 Resposta: Os pontos de inflexão são \( x = -\sqrt{3} \) e \( x = \sqrt{3} \). Explicação: Para 
encontrar os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada e determinamos onde 
muda de concavidade. 
 
15. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área da região é \( 1 - \frac{\pi}{4} \). Explicação: A área entre as curvas é 
dada pela diferença entre as integrais definidas das duas funções. 
 
16. Problema: Determine a derivada de \( f(x) 
 
 = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). Explicação: Usamos 
a regra da cadeia para encontrar a derivada desta função composta. 
 
17. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \cos(x) \). 
 Resposta: A integral de \( g(x) \) é \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. Explicação: Esta é a integral do cosseno, então é o seno mais 
uma constante. 
 
18. Problema: Determine o limite de \( h(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2} \) quando \( x \) se 
aproxima de -2. 
 Resposta: O limite de \( h(x) \) é -4. Explicação: Podemos simplificar a expressão para \( 
x - 2 \), e quando \( x \) se aproxima de -2, \( h(x) \) se aproxima de -4. 
 
19. Problema: Encontre a raiz da equação \( f(x) = x^4 - 16 \). 
 Resposta: As raízes da equação são \( x = 2 \) e \( x = -2 \). Explicação: Podemos fatorar a 
expressão como \( (x^2 - 4)(x^2 + 4) \), então as raízes são os valores que zeram esses 
fatores. 
 
20. Problema: Determine a segunda derivada de \( g(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: A segunda derivada de \( g(x) \) é \( g''(x) = 2\sec^2(x) \tan(x) \). Explicação: 
Usamos a regra do quociente e a derivada da função tangente.