Cálculos de Cálculo Diferencial e Integral

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65. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = \sin(x) + x^3 \). 
 Resposta: Os pontos críticos são aproximadamente \( (-1.364, -1.595) \), \( (0, 0) \), e \( 
(1.364, 1.595) \). Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero. 
 
66. Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto onde \( 
x = \ln(2) \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é \( m = 2 \). Calculamos a derivada da função e 
substituímos \( x = \ln(2) \). 
 
67. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 
\). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 0 \) e o ponto de mínimo é \( x = 2 \). Calculamos a 
derivada primeira e segunda para encontrar os pontos críticos. 
 
68. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \arctan(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Utilizamos substituição trigonométrica. 
 
69. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = x^2 
\). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (\sqrt{\pi}, \sin(\sqrt{\pi})) \). Igualamos as duas 
equações e resolvemos para \( x \). 
 
70. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 8x^2 + 1 
\) tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
71. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x) \). Utilizamos a regra do quociente e a identidade 
trigonométrica. 
 
72. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 
x^2 \) no intervalo \( 0 \leq x \leq 2 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. Calculamos a integral da função 
que representa a diferença entre as duas curvas.