Pontos e Equações no Plano

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25 Considerando o ponto P(1, 5) e a reta r de equação 
x 2 y 2 3 5 0, determinar o(s) ponto(s) de r que 
dista(m) 5 unidades de P.
24 Obter uma equação geral para cada um dos eixos 
coordenados, Ox e Oy, do plano cartesiano.
 a 2 y 2 3 5 0 ] y 5 a 2 3
 Assim, um ponto genérico da reta r é G(a, a 2 3).
 Consideramos a condição exigida no enunciado, isto 
é, PG 5 5:
 PG 5 5 ] dlllllllllllllllllll (a 2 1)2 1 (a 2 3 2 5)2 5 5
 Elevando ao quadrado ambos os membros dessa 
igualdade, obtemos:
 (a 2 1)2 1 (a 2 8)2 5 52 ]
 ] a2 2 2a 1 1 1 a2 2 16a 1 64 5 25
 } 2a2 2 18a 1 40 5 0 ] a2 2 9a 1 20 5 0
 Resolvendo essa equação do 2o grau, obtemos 
 a 5 4 ou a 5 5.
 Há, portanto, dois pontos, G e Ge, de r que distam 5 
unidades de P:
•	 para	a 5 4, temos G(4, 1);
•	 para	a 5 5, temos Ge(5, 2).
Resolução
 No plano cartesiano xOy, todos os pontos do eixo Ox, 
e somente eles, têm ordenada zero; logo, podemos 
representar esse eixo pela equação y 5 0.
x
y
reta y � 0
x
y
reta x � 0
5
2
1 4 5
1
y
P
G�
G
r
x
Intersecção de retas concorrentes
Seja P(x0, y0) o ponto comum às retas concorrentes r e s de equações a1 x 1 b1 y 1 c1 5 0 e 
a2 x 1 b2 y 1 c2 5 0, respectivamente.
y
y0
x0
O
P
s
r x
{P} 5 r ) s
Como P(x0, y0) pertence às duas retas simultaneamente, o par ordenado (x0, y0) é solução do 
sistema:
a1x 1 b1y 1 c1 5 0
a2x 1 b2y 1 c2 5 0
Assim,	concluímos	que,	para	obter	o	ponto	de	intersecção	de	duas	retas	concorrentes,	basta	
resolver o sistema formado por suas equações.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Tomemos um ponto genérico de r. Para isso, basta 
atribuir um valor genérico para x. Substituindo x 
por um valor genérico a, temos:
 De maneira análoga, todos os pontos do eixo Oy, 
e somente eles, têm abscissa zero; logo, podemos 
representar esse eixo pela equação x 5 0.
x
y
reta y � 0
x
y
reta x � 0
80
C
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p
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 2
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G
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19
98
.
CAP 02.indb 80 04.10.10 13:53:17
26 As retas r e s representadas no plano cartesiano 
abaixo têm equações x 2 y 1 1 5 0 e 2x 2 y 2 1 5 0, 
respectivamente. Determinar o ponto P, comum a 
r e s.
27 Sendo r a reta oblíqua de equação 
 3x 1 5y 2 12 5 0, determinar o ponto de intersecção 
de r com o eixo das abscissas.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 As coordenadas do ponto P formam a solução do 
sistema:
 Resolvendo esse sistema linear, temos:
 De (II), temos y 5 3.
 Substituindo y por 3 em (I), temos: 
 x 2 3 5 21 ] x 5 2
 Concluímos então que P(2, 3).
Resolução
 Vimos no exercício resolvido 24 que a equação do 
eixo Ox, das abscissas, é y 5 0. Assim, o par ordenado 
que representa o ponto de intersecção de r com esse 
eixo é a solução do sistema:
 
x 2 y 1 1 5 0
2x 2 y 2 1 5 0 que é equivalente a 
x 2 y 5 21
2x 2 y 5 1
y
P
s
r
x
 Substituindo y por 0 na primeira equação do siste-
ma, temos:
 3x 1 5 3 0 2 12 5 0 ] x 5 4
 Concluímos, então, que a reta r intercepta o eixo 
das abscissas no ponto (4, 0).
3x 1 5y 2 12 5 0
y 5 0
r
x
y
(4, 0)
8
x 2 y 5 21
2x 2 y 5 1
x 2 y 5 21 (I)
0x 1 y 5 3 (II)
22#
1
Uma condição de concorrência de duas retas
Sejam a1 x 1 b1 y 1 c1 5 0 e a2 x 1 b2 y 1 c2 5 0 as equações de duas retas quaisquer r e s, 
respectivamente. O sistema formado por essas equações pode ser representado na forma:
a1 x 1 b1 y 5 2c1
a2 x 1 b2 y 5 2c2
Esse sistema é possível e determinado se, e somente se: 
a1
a2
b1
b2
 % 0
Isso significa que:
Como consequência, temos: 
Duas retas de equações a1 x 1 b1 y 1 c1 5 0 e a2 x 1 b2 y 1 c2 5 0 são paralelas (distintas ou 
coincidentes) se, e somente se, 
a1
a2
b1
b2
 5 0.
As retas de equações a1 x 1 b1 y 1 c1 5 0 e a2 x 1 b2 y 1 c2 5 0 são concorrentes se, e 
somente se, 
a1
a2
b1
b2
 % 0.
81
S
e
ç
ã
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 2
.3
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Fo
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V3_P1_CAP_02C.indd 81 04.10.10 16:07:16
5x 2 y 5 21 (r)
3x 2 y 5 13 (s)
3x 1 2y 5 1 (r)
kx 1 4y 5 26 (s)
28 As equações de duas retas, r e s, são, respectivamente, 5x 2 y 2 21 5 0 e 3x 2 y 2 13 5 0. Demonstrar 
que r e s são retas concorrentes.
29 No plano cartesiano xOy, as equações de duas retas, r e s, são, respectivamente, 3x 1 2y 2 1 5 0 
e kx 1 4y 1 6 5 0, sendo k um número real. Para que valores de k essas retas são concorrentes?
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Considere o sistema linear:
Resolução
Considere o sistema linear:
 Sendo D o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema, temos:
 Sendo D o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema linear, temos que as retas r e s 
serão concorrentes se, e somente se, D % 0, isto é:
 Assim, as retas r e s serão concorrentes se, e somente se, k % 6.
 3
k
2
4
 % 0 ] 3 3 4 2 2 3 k % 0
 } k % 6
46 Construa o gráfico cartesiano da reta:
a) q de equação geral 3x 2 2y 2 12 5 0
b) t de equação geral 2x 1 3y 5 0
c) v de equação geral x 2 6 5 0
47 Os itens a seguir apresentam as equações das retas 
r e s. Obtenha dois pontos distintos quaisquer de 
cada reta e calcule seu coeficiente angular a partir 
desses pontos.
a) (r) x 1 2y 2 6 5 0
b) (s) 4x 2 3y 2 24 5 0
EXERCÍCIOS pROpOStOS
48 Dados o ponto A(2, 5) e a reta r de equação
 x 2 y 1 1 5 0, determine o ponto P pertencente a r 
e distante 10 unidades de A.
49 O gráfico abaixo representa uma reta r. Sendo O a 
origem do sistema de eixos, determine o ponto P 
pertencente a r tal que a distância PO seja 4 dll 2 .
�4
2
y
r
O x
 Como D % 0, o sistema linear é possível e determinado, isto é, admite uma única solução. Portanto, 
as retas r e s têm um único ponto em comum, ou seja, r e s são retas concorrentes. 
 Nota: Poderíamos ter resolvido o sistema 
5x 2 y 5 21
3x 2 y 5 13
 e constatado que apenas um par ordenado 
 satisfaz as duas equações simultaneamente, com o que concluiríamos que as duas retas têm um 
 único ponto em comum; portanto, são concorrentes. 
 D 5 5
3
21
21
 5 5 3 (21) 2 3 3 (21) 5 22
82
R
ep
ro
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