matematica material-161

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88. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. Utilizamos substituição trigonométrica. 
 
89. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = 
\frac{1}{x} \). 
 Resposta: O ponto de interseção é aproximadamente \( (0.739, 0.739) \). Igualamos as 
duas equações e resolvemos para \( x \). 
 
90. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 6x^2 + 1 
\) tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
91. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - \tan(x)}{x^2} \). Utilizamos a regra do quociente e a 
regra do produto para encontrar a derivada. 
 
92. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^3 \) 
no intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \). 
 Resposta: A área é \( e - \frac{1}{4} \) unidades quadradas. Calculamos a integral da 
função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
93. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = e^x 
\). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (\arcsin(1), 1) \). Igualamos as duas equações e 
resolvemos para \( x \). 
 
94. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{\pi}{2} \). Usamos a propriedade da integral 
definida para calcular a área sob a curva. 
 
95. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = e^x + x^2 \).