Exercicios de matematica (164)

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Resposta: A equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). Explicação: Para 
encontrar a equação da reta tangente, calculamos a derivada da função no ponto dado e 
utilizamos a equação da reta com essa derivada como inclinação. 
 
62. Problema: Encontre o ponto de interseção entre a reta \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) e a 
circunferência \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5 \). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (2, 3) \). Explicação: Substituindo a equação da 
reta na equação da circunferência, podemos encontrar o valor de x. Em seguida, 
substituímos o valor de x em uma das equações para encontrar y. 
 
63. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \cot(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( -\csc^2(x) \). Explicação: Utilizando a regra do 
quociente e a identidade trigonométrica \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) para derivar a 
função. 
 
64. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 
x^2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo ocorre em \( x = 0 \) e o ponto de mínimo em \( x = 
\frac{2}{3} \). Explicação: Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, derivamos a 
função e igualamos a zero. Em seguida, resolvemos para x e determinamos os valores de x 
correspondentes. 
 
65. Problema: Encontre a equação da parábola com vértice em (1, -2) e diretriz \( y = -5 \). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = -\frac{1}{8}(x - 1)^2 - 2 \). Explicação: Utilizando 
a fórmula do vértice da parábola \( (h, k) \) e a equação da diretriz para encontrar o valor 
de p. 
 
66. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + C \), onde C 
é uma constante de integração. Explicação: Utilizando a decomposição em frações 
parciais para integrar a função. 
 
67. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área da região é \( e - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Para encontrar a 
área entre duas curvas, calculamos a integral da diferença entre as funções ao longo do 
intervalo de interseção.