Exercicios de matematica (169)

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Resposta: O ponto de interseção é \( (2, 3) \). Explicação: Substituindo a equação da 
reta na equação da circunferência, podemos encontrar o valor de x. Em seguida, 
substituímos o valor de x em uma das equações para encontrar y. 
 
93. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \cot(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( -\csc^2(x) \). Explicação: Utilizando a regra do 
quociente e a identidade trigonométrica \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) para derivar a 
função. 
 
94. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 
x^2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo ocorre em \( x = 1 \) e o ponto de mínimo em \( x = 
\frac{2}{3} \). Explicação: Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, derivamos a 
função e igualamos a zero. Em seguida, resolvemos para x e determinamos os valores de x 
correspondentes. 
 
95. Problema: Encontre a equação da parábola com vértice em (2, -1) e diretriz \( y = -1 \). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{8}(x + 2)^2 - 1 \). Explicação: Utilizando 
a fórmula do vértice da parábola \( (h, k) \) e a equação da diretriz para encontrar o valor 
de p. 
 
96. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^{-3x} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\frac{1}{3}e^{-3x} + C \), onde C é uma constante de 
integração. Explicação: Utilizando a regra da exponencial para derivar a função. 
 
97. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \tan(x) \) e \( y = 
\sec(x) \) no intervalo \( [0, \pi/4] \). 
 Resposta: A área da região é \( \ln(2) \) unidades quadradas. Explicação: Para encontrar 
a área entre duas curvas, calculamos a integral da diferença entre as funções ao longo do 
intervalo de interseção. 
 
98. Problema: Encontre a equação da hipérbole com centro em 
 
 (2, 3), eixo transverso de comprimento 10 e distância focal de 8. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{(x - 2)^2}{64} - \frac{(y - 3)^2}{36} = 1 \). 
Explicação: Utilizando a forma padrão da equação da hipérbole com centro em (h, k), eixo 
transverso a e eixo conjugado b, substituímos os valores dados na equação.