Fenômenos de Transporte

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1º EXERCICIO ESCOLAR DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE
1º) QUESITO: O QUE É UM FLUIDO? QUAIS AS DIFERENÇAS ENTRE UM SÓLIDO E
UM FLUIDO?
Fluido: Um fluido é definido como uma substância que se deforma continuamente
quando submetida a uma força que é paralela à sua superfície (tensão de cisalhamento),
não importando o quão pequena essa tensão possa ser. Líquidos e gases são
considerados fluidos pois não possuem seus átomos organizados de forma simétrica e
rígida, formando uma rede cristalina, como acontece com os sólidos cristalinos.
Diferenças entre um sólido e um fluido: A propriedade característica dos fluidos é a
facilidade de sua deformação. Ao contrário dos sólidos, os fluidos não possuem uma
forma própria, assumindo o formato do recipiente onde são armazenados. Uma outra
diferença é que um fluido não é capaz de exercer uma força de resistência proporcional
à deformação, como os sólidos conseguem. Além disso, um sólido também deforma-se
quando uma tensão de cisalhamento é aplicada a ele, mas, diferentemente dos fluidos,
sua deformação não aumenta continuamente com o tempo, ou seja, não escoa.
2º) QUESITO: A PARTIR DO DESENHO ESQUEMÁTICO ABAIXO DEDUZA A LEI DE
NEWTON DA VISCOSIDADE PARA FLUIDOS NEWTONIANOS (VISCOSIDADE
DINÂMICA DO FLUIDO).
Quando a força P é aplicada na placa superior, esta se movimenta continuamente com
uma velocidade U.
De acordo com a imagem, o comportamento de um fluido localizado entre duas placas é:
Quando a força P, de cisalhamento, é aplicada na placa superior, esta se move
continuamente com uma velocidade U. Isso mostra coerência com a definição de fluido,
ou seja, se uma tensão de cisalhamento é aplicada em um fluido, ele irá se deformar
continuamente.
O fluido em contato com a placa superior se move com a velocidade da placa U. O
fluido em contato com a placa inferior apresenta velocidade nula e o fluido entre as duas
placas move com velocidade , ou seja, a velocidade é função de y apenas.
Existe gradiente de velocidade, , no escoamento entre as placas, ou seja, o𝑑𝑢/𝑑𝑦
gradiente de velocidade é constante pois: .
Isto não é verdadeiro em situações mais complexas porque a aderência dos fluidos
nas fronteiras sólidas tem sido observado experimentalmente e é um fato muito
importante na mecânica dos fluidos. Usualmente, esta aderência é referida como a
condição de não escorregamento. Todos os fluidos satisfazem essa condição.
Em um pequeno intervalo de tempo , a linha vertical no fluido rotacionará um ânguloδ𝑡
Assim: , como segue queδβ. δ𝑎 = 𝑈δ𝑡,
Observe que é uma função da força P (que determina U) e do tempo. Considere aδβ
taxa de variação de com o tempo e definamos a taxa de deformação porδβ
cisalhamento, , através da relação: .γ'
No caso do escoamento entre as placas paralelas, a taxa de deformação por
cisalhamento é igual a: .
Se variarmos as condições deste experimento, verifica-se que a tensão de
cisalhamento aumenta se aumentarmos o valor de P e que a taxa de deformação por
cisalhamento aumenta. Proporcionalmente, ou seja, onde a constante de
proporcionalidade, , é denominada viscosidade dinâmica do fluido.µ
O valor de viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em
particular, esta viscosidade depende muito da temperatura. Os fluidos que apresentam
relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação por cisalhamento
(também conhecida como taxa de deformação angular) são denominados fluidos
newtonianos.
3º) QUESITO: A PARTIR DO DESENHO ESQUEMÁTICO ABAIXO DEDUZA A
VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A POSIÇÃO DE UM FLUIDO EM REPOUSO.
Pressões atuando sobre as faces do elemento.
Existem dois tipos de forças que atuam no elemento de fluido: As superficiais, devido a
pressão, e a de campo que, neste caso, é igual ao peso do elemento.
A pressão no centro geométrico do elemento é expressa em função de P, e as
pressões médias nas várias faces do elemento é expressa em função de P e suas
derivadas.
Na verdade é utilizada uma expansão em série de Taylor, baseada no centro do
elemento.
A força resultante na direção x é dada por:
De modo análogo, as forças resultantes na direção x e z são dadas por:
A forma vetorial da força superficial resultante que atua no elemento é:
Onde i, j, e k são vetores unitários do sistema de coordenadas. O grupo entre
parênteses representa a forma vetorial do gradiente de pressão e pode ser escrito como:
. Onde em que o
símbolo∇ representa o operador gradiente, assim:
Como o eixo y é vertical, o peso do elemento de um fluido é dado por:
O sinal negativo indica que a força provinda do peso aponta para baixo (sentido
negativo de y).
A segunda Lei de Newton, aplicada ao fluido, pode ser escrita da seguinte forma:
; representa a força resultante que atua no elemento; é a aceleraçãoΣδ𝐹 = δ𝑚𝑎 Σδ𝐹 𝑎
do elemento e é a massa do elemento fluido, que pode ser escrito como .δ𝑚 𝑃δ𝑥δ𝑦δ𝑧
Assim: ouΣδ𝐹 = δ𝐹𝑠 − δ𝑣𝑗 = δ𝑚𝑎 − ∇𝑃δ𝑥δ𝑦δ𝑧 − γδ𝑥δ𝑦δ𝑧𝑗 = 𝑃δ𝑥δ𝑦δ𝑧𝑎
simplificando, obtemos que .− ∇𝑃 − γ𝑗 = 𝑃𝑎
Essa é a equação geral do movimento válido para casos onde as tensões de
cisalhamento no fluido são nulas.
Em fluidos em repouso, tem-se: , os componentes da𝑎 = 0 → − ∇𝑝 − γ𝑗 = 0
equação anterior são:
.
Significado: Isso mostra que a pressão não é em função de x e z , isso é, não há
variação no valor da pressão quando mudamos de um ponto para outro situada no
mesmo plano horizontal (Qualquer plano paralelo ao plano x e z). Logo, P é apenas
função de y. Reescrevendo com uma E.D.O., temos:
4º) QUESITO: A PARTIR DO DESENHO ESQUEMÁTICO ABAIXO DEDUZA A
VARIAÇÃO DA DERIVADA MATERIAL.
Velocidade e Posição de uma partícula A no instante t.
Derivada Material – é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se
com velocidade v, descrita como a taxa de variação em relação ao tempo de alguma
quantidade (calor, temperatura, velocidade) que está sendo transportada por corrente
fluida.
A velocidade da partícula A, , é uma função de sua posição e do tempo, ou seja.𝑉
𝐴
Onde: , definem a posição da partícula
fluida. A aceleração da partícula é igual a taxa de variação de sua velocidade:
Utilizando a regra da cadeia para obter a aceleração da partícula A, tem-se:
Como: , e , podemos reescrever:
Generalizando:
(Forma Vetorial)
Podemos obter os componentes escalares desta equação vetorial:
Em que são as componentes do vetor aceleração nas direções x,y e z.
Podemos também reescrever este resultado como . Onde o operador
é denominado derivada material ou derivada
substantiva.