Cálculos de Cálculo Diferencial e Integral

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13. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{\pi}{4} \) unidades quadradas. Explicação: A área entre 
duas curvas é dada pela integral da diferença entre as duas funções. 
 
14. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} (4x^3 + 2x^2) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( 2 \). Explicação: Para calcular a integral definida, 
encontramos a integral indefinida e então aplicamos os limites de integração. 
 
15. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(2x^2 + 1) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{4x}{2x^2 + 1} \). Explicação: Usamos a 
regra da cadeia para derivar \( \ln(2x^2 + 1) \). 
 
16. Problema: Determine os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^4 - 4x^2 \). 
 Resposta: O ponto de inflexão ocorre em \( x = -\sqrt{2} \) e \( x = \sqrt{2} \). Explicação: 
Os pontos de inflexão são onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda 
derivada m 
 
uda de sinal. 
 
17. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int (e^x + \cos(x)) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( e^x + \sin(x) + C \), onde \( C \) é uma constante de 
integração. Explicação: Integramos cada termo separadamente. 
 
18. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{2x\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3} \). 
Explicação: Usamos a regra do quociente para derivar \( \frac{\sqrt{x}}{x^2} \). 
 
19. Problema: Determine os intervalos onde a função \( f(x) = \frac{1}{x^3} \) é 
decrescente. 
 Resposta: A função é decrescente em \( (-\infty, 0) \) e \( (0, \infty) \). Explicação: Uma 
função é decrescente onde sua derivada é negativa.