Problemas de Matemática

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67. Problema: Resolva a equação: \(\frac{4}{x + 3} = \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x - 3}\). 
 Resposta: \(x = 5\). Explicação: Encontre o denominador comum 
 
 e resolva a equação resultante. 
 
68. Problema: Determine o valor de \(x\) na equação: \(\log_2(x - 1) - \log_2(x + 1) = 2\). 
 Resposta: \(x = 5\). Explicação: Use a definição de logaritmo. 
 
69. Problema: Calcule a área da região delimitada pela curva \(y = \tan(x)\), o eixo x e as 
retas \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: \(\ln(2)\). Explicação: Calcule a integral definida da função dentro dos limites 
dados. 
 
70. Problema: Simplifique a expressão: \(\sin^3(x) + \cos^3(x)\). 
 Resposta: \(1\). Explicação: Use as identidades trigonométricas. 
 
71. Problema: Resolva a equação: \(\frac{5}{x - 2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x - 3}\). 
 Resposta: \(x = 4\). Explicação: Encontre o denominador comum e resolva a equação 
resultante. 
 
72. Problema: Determine o valor de \(x\) na equação: \(\log(x - 2) - \log(x + 2) = 2\). 
 Resposta: \(x = 10\). Explicação: Use a definição de logaritmo. 
 
73. Problema: Calcule a área da região delimitada pela curva \(y = e^x\), o eixo x e as retas 
\(x = 0\) e \(x = \ln(2)\). 
 Resposta: \(2 - \frac{1}{2}\ln(2)\). Explicação: Calcule a integral definida da função 
dentro dos limites dados. 
 
74. Problema: Simplifique a expressão: \(\frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} + \frac{1 - 
\cos(x)}{\sin(x)}\). 
 Resposta: \( \frac{2}{\sin(x)} \). Explicação: Combine as frações usando o denominador 
comum. 
 
75. Problema: Resolva a equação: \(\frac{4}{x + 3} = \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 3}\).