Problemas de Cálculo e Álgebra

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Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
69. Problema: Determine a derivada de \( y = \ln(\cot(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = -\frac{1}{\sin(x)} \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
70. Problema: Calcule a soma dos termos da série \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + 
\frac{1}{20} + \ldots \). 
 Resposta: A soma dos termos é \( \ln(2) \). 
 Explicação: Esta é a série harmônica alternada, cuja soma é conhecida como \( \ln(2) \). 
 
71. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: A área é \( e 
 
 - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função \( \ln(x) \) no intervalo de interesse. 
 
72. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = \frac{2y}{x} \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Cx^2 \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
73. Problema: Encontre a derivada de \( y = \ln(\csc(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = -\frac{1}{\sin(x)\cot(x)} \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
74. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x)}{x^3} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Utilizei a identidade \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) para resolver o 
limite.