Matematica analitica (65)

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22. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 
1 \) tenha um ponto de inflexão em \( x = -1 \). 
 Resposta: \( a = -\frac{1}{3} \) e \( b = \frac{5}{3} \). 
 
23. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{8}{3}\pi \). 
 
24. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 Resposta: A derivada é \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
25. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \ 
 
) e \( y = x^2 \) no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{e^2 - 1}{2} \). 
 
26. Problema: Calcule a integral \( \int e^x \sin(x) \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{e^x(\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \). 
 
27. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 - 3x^2 + 
bx + 2 \) tenha um ponto de inflexão em \( x = 1 \). 
 Resposta: \( a = 1 \) e \( b = -3 \). 
 
28. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{e^2 - 1}{2} \pi \). 
 
29. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( -\frac{\cos(x)}{x^2} + \frac{\sin(x)}{x} \). 
 
30. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é \( 1 \).