Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

94. Problema: Calcule o produto escalar entre os vetores \( \mathbf{v} = (1, 2, -3) \) e \( 
\mathbf{u} = (-2, 0, 1) \). 
 Resposta: \( -7 \). 
 Explicação: Multiplique as componentes correspondentes dos vetores e some os 
resultados. 
 
95. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente e a regra do produto para derivar a função. 
 
96. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( 1 \). 
 Explicação: Utilize a definição do limite fundamental trigonométrico. 
 
97. Problema: Determine a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 
y^2}{xy} \). 
 Resposta: \( y = \sqrt{Cx^2 - x^3} 
 
 \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 Explicação: Esta é a solução geral da equação diferencial. 
 
98. Problema: Resolva a equação logarítmica \( 2\log(x) - \log(x^2 + 1) = 3 \). 
 Resposta: \( x = 10 \). 
 Explicação: Utilize as propriedades dos logaritmos para combinar os termos e resolver 
para \( x \). 
 
99. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \tan(x)\cos(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x)\cos(x) - \sin(x)\cos^2(x) \). 
 Explicação: Utilize a regra do produto para derivar a função. 
 
100. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( +\infty \).