Problemas de Cálculo e Derivadas

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29. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \)? 
 Resposta: O limite é 4. Isso pode ser resolvido usando a definição de limite. 
 
30. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{1 + y^2} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \tan^{-1}(x^2 + C) \), onde \( C \) é uma constante. 
 
31. Qual é o valor de \( \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} \)? 
 Resposta: \( \sqrt{5} - 2 \). 
 
32. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{y} \) e \( y(0) = 1 \), qual é o valor de \( y(\pi) \)? 
 Resposta: \( y(\pi) = e \). 
 
33. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx \)? 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). 
 
34. Se \( f(x) = e^{2x} \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{2e^2} \). 
 
35. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3} \)? 
 Resposta: O limite é \( \infty \). 
 
36. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\cos(x)} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \ln|\sec(x)| + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
37. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x)) \)? 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). 
 
38. Se \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx = a \), qual é o valor de \( a \)? 
 Resposta: \( a = 0 \).