Problemas de Cálculo e Álgebra

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49. Problema: Encontre a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x, y) = 2xy^2 + 3x^2y \) 
em relação a \( y \) e depois em relação a \( x \). 
 Resposta: A segunda derivada parcial em relação a \( y \) e depois a \( x \) é \( 
\frac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = 6xy \). 
 Explicação: Derivamos parcialmente a função duas vezes, primeiro em relação a \( y \) e 
depois em relação a \( x \). 
 
50. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{y}}{{x}} \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{{C}}{{x}} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução. 
 
51. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{{1 + \sin(x)}}{{\cos(x)}} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \). 
 Explicação: Utilizamos substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
52. Problema: Determine a solução particular da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = 
e^x \) com a condição inicial \( y(0) = 2 \). 
 Resposta: A solução particular é \( y = e^x + 1 \). 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial e usamos a condição 
inicial para determinar a constante de integração. 
 
53. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{1}^{2} \frac{{1}}{{x^2}} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( 1 - \frac{{1}}{{2}} = \frac{{1}}{{2}} \). 
 Explicação: Calculamos a integral da função entre os limites dados. 
 
54. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{{\cos(x)}}{{x}} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{{\sin(x)}}{{x}} - \frac{{\cos(x)}}{{x^2}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
55. Problema: Resolva a equação \( e^x - 2 = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x = \ln(2) \). 
 Explicação: Utilizamos a função logarítmica natural para encontrar a solução.