Problemas de Cálculo e Álgebra

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56. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = \sin(x) 
\). 
 Resposta: A solução geral é \( y = -\cos(x) + C \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução. 
 
57. Problema: Calcule a derivada direcional da função \( f(x, y) = 3x^2 - 4xy + 2y^2 \) no 
ponto \( (1,2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 3, -1 \rangle \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( \nabla f \cdot \mathbf{v} = -11 \). 
 Explicação: Calculamos o gradiente da função e então encontramos o produto escalar 
entre o gradiente e o vetor direção. 
 
58. Problema: Resolva a equação \( \log_{10}(x) = 3 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 10^3 = 1000 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição de logaritmo para encontrar o valor de \( x \). 
 
59. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \), e 
as retas \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 Explicação: Utilizamos integração definida para calcular a área entre a curva e o eixo \( x 
\) no intervalo dado. 
 
60. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \ln(x + 2) \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = e^x - 2 \). 
 Explicação: Trocamos \( x \) por \( y \) e \( y \) por \( x \) na função original e resolvemos 
para \( y \). 
 
61. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = 
\frac{{1}}{{y^2}} \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = \sqrt{{C - x}} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução.