Atividade 2 Calculo Aplicado Varias Variaveis

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Pergunta 1
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Comentário
da resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal
a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular
à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano
tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da
função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita
como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação
do plano tangente à função no ponto P(1,-1).
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função 
 são: e . Calculando o valor da função e suas
derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e
. Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
 
.
Pergunta 2
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Comentário
da resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto
é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor
gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante):
 
 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
. 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e
. Logo, o vetor gradiente é .
Pergunta 3
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário da
resposta:
formação da função . Assim, para determinar o domínio da função precisamos
verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto .
O domínio da função é o conjunto .
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições
para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 4
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Comentário
da resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento
da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas
de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .
Pergunta 5
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A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma
unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da
função no ponto P(1,2).
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o
vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
 - 
 
- 
 
- 
 
 
 A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é
. 
 
Assim, a direção de maior crescimento é .
Pergunta 6
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Comentário
da resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da
cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as
variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente.
Sabemos que podemos escrever . Se e e .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das
variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra
variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis
independentes.
Pergunta 7
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Comentário
da resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano 
 (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já
a variação de temperatura é mínima em .
(O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Pergunta 8
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Comentário
da resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as
direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível,
também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção
diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção
seja fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da
função no ponto na direção do vetor .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função 
 são: e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada
direcional procurada é .
Pergunta 9
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Comentário
da resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente
pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1),
assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e
seu vetor gradiente são: , e
. Assim, . Temos ainda que
vetor unitário na direção de é o vetor . Portanto, a
derivada direcional é .
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Pergunta 10
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Comentário
da resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor
gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o
ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a
derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o
vetor gradiente são: , e
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
1 em 1 pontos