Problemas de Cálculo Diferencial

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89. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \tan(x) \) e \( y = \sin(x) 
\). 
 Resposta: Os pontos de interseção são \( (\frac{\pi}{4}, 1) \) e \( (\frac{3\pi}{4}, -1) \), que 
podem ser encontrados igualando as duas funções e resolvendo a equação resultante. 
 
90. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^3} \). 
 Resposta: O limite é \( \infty \), pois \( \sin(x) \) cresce mais rápido do que \( x^3 \) 
conforme \( x \) se aproxima de \( 0 
 
 \). 
 
91. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\tan(x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \). 
 Resposta: A área é \( \ln(2) - \frac{1}{2} \), que pode ser encontrada calculando a integral 
definida da diferença das duas funções no intervalo relevante. 
 
92. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = \sin(x) - \tan(x) 
\). 
 Resposta: Não existem pontos de máximo ou mínimo, pois a função é oscilatória em 
todo o seu domínio. 
 
93. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \tan(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{4}, 1) \). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x \), que pode ser encontrada usando a 
derivada da função e a fórmula da reta tangente. 
 
94. Problema: Resolva a integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \ln(2) \), que pode ser encontrada calculando a integral 
indefinida e depois aplicando os limites de integração. 
 
95. Problema: Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = \tan(x) \) 
em torno do eixo \( x \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \). 
 Resposta: A área é \( \pi(\ln(2))^2 \), que pode ser encontrada usando a fórmula da área 
de superfície para revolução de uma curva em torno do eixo \( x \).