matematica exercicios (77)

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para \( n \geq 1 \). A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} \) é uma série harmônica 
multiplicada por \( \frac{1}{3} \), que é convergente. Portanto, pela comparação, a série 
dada também converge. 
 
6. **Problema:** Encontre todos os valores de \( x \) para os quais a série \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \) converge. 
 **Resposta e Explicação:** Utilizando o teste da razão, \( \lim_{{n \to \infty}} \left| 
\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{x^{n+1}(n^2)}{{(n+1)^2}x^n} \right| 
= \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{x(n^2)}{(n+1)^2} \right| \). Para que a série converge, o limite 
dessa expressão deve ser menor que 1. Portanto, \( \lim_{{n \to \infty}} \left| 
\frac{x(n^2)}{(n+1)^2} \right| < 1 \Rightarrow |x| < 1 \). Assim, a série converge para \( -1 < x 
< 1 \). 
 
7. **Problema:** Se \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \) e \( g(x) = e^{2x} \), determine \( (f \circ g)(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(e^{2x}) = \sqrt{(e^{2x})^2 + 4} = 
\sqrt{e^{4x} + 4} \). 
 
8. **Problema:** Resolva a equação \( \cos(2x) - 2\sin(x)\cos(x) = 0 \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilizando a identidade \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \), 
podemos reescrever a equação como \( 1 - 2\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 0 \ 
 
). Isso simplifica para \( 1 - 2\sin(x)[\sin(x) + \cos(x)] = 0 \). Assim, \( \sin(x) = 0 \) ou \( \sin(x) 
+ \cos(x) = \frac{1}{2} \). Para \( \sin(x) = 0 \), obtemos \( x = k\pi \), onde \( k \) é um inteiro. 
Para \( \sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{2} \), não há soluções no intervalo \( [0, 2\pi] \). Portanto, 
as soluções são \( x = k\pi \), onde \( k \) é um inteiro. 
 
9. **Problema:** Se \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \), determine todos os intervalos nos quais 
\( f(x) \) é crescente. 
 **Resposta e Explicação:** Para determinar onde \( f(x) \) é crescente, precisamos 
encontrar onde sua derivada é positiva. A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 \). 
Para encontrar os intervalos onde \( f(x) \) é crescente, encontramos os intervalos onde \( 
f'(x) > 0 \). Podemos notar que \( f'(x) \) é sempre positivo, então \( f(x) \) é crescente em 
todo o seu domínio real. 
 
10. **Problema:** Seja \( f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, dt \). Encontre \( f'(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, \( f'(x) = e^{-
x^2} \).