Equações Diferenciais e Integrais

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**Resposta e Explicação:** A equação característica associada é \( r^2 + 4r + 4 = 0 \), 
que tem uma raiz dupla \( r = -2 \). Portanto, a solução homogênea correspondente é \( 
y_h(x) = (Ax + B)e^{-2x} \). Para encontrar uma solução particular, usamos o método da 
variação dos parâmetros. Assumindo \( y_p(x) = u(x)e^{-2x} \), onde \( u(x) \) é uma função 
a ser determinada, obtemos \( u''e^{-2x} - 2ue^{-2x} + 4u'e^{-2x} + 4ue^{-2x} = e^{-2x} \). 
Simplificando, \( u''e^{-2x} + 2u'e^{-2x} = e^{-2x} \), o que implica que \( u'' + 2u' = 1 \). 
Portanto, \( u(x) = \frac{x^2}{2} + Cx + D \). Assim, \( y_p(x) = (\frac{x^2}{2} + Cx + D)e^{-2x} 
\), onde \( C \) e \( D \) são constantes a serem determinadas. Substituindo \( y_p(x) \) na 
equação original, podemos encontrar \( C \) e \( D \). Finalmente, a solução geral é \( y(x) = 
y_h(x) + y_p(x) \). 
 
27. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 
\sqrt{x} \). 
 **Resposta e Explicação:** A área da região é dada pela integral da diferença das 
funções ao longo do intervalo em que elas se intersectam. As funções se intersectam em 
\( x = 0 \) e \( x = 1 \). Portanto, a área é \( \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \). 
 
28. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} \). Determine todos os valores de \( 
x \) para os quais \( f(x) \) é contínua. 
 **Resposta e Explicação:** \( f(x) \) é contínua em todos os pontos onde o denominador 
não é zero e a função é definida. Portanto, \( f(x) \) é contínua para todos os valores de \( x 
\) exceto \( x = -1 \). 
 
29. **Problema:** Resolva a equação \( \sin^2(x) - \cos(x) = 0 \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilizando a identidade \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), 
podemos reescrever a equação como \( 1 - \cos^2(x) - \cos(x) = 0 \). Isso simplifica para \( 
\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0 \). Resolvendo esta equação quadrática em \( \cos(x) \), 
encontramos \( \cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Portanto, \( x = \arccos\left(\frac{-1 + 
\sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k \) ou \( x = \arccos\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi k \), onde 
\( k \) é um inteiro. 
 
30. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{1}{x^3 - x} \). Determine todos os valores de \( x \) para 
os quais \( f(x) \) é contínua. 
 **Resposta e Explicação:** \( f(x) \) é contínua em todos os pontos onde o denominador 
não é zero e a função é definida. Portanto, \( f(x) \) é contínua para todos os valores de \( x 
\) exceto \( x = -1, 0, 1 \). 
 
31. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' + y = \sin(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A 
solução geral é \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \), onde \( y_h(x) \) é a solução da equação