matematica exercicios (145)

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Resposta: A solução da equação diferencial é \( y(x) = ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x} \). 
 
71. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = 
\sqrt{x} \) de \( x = 1 \) a \( x = 4 \). 
 Resposta: A área é \( 4 - 2\ln(2) \). 
 
72. Problema: Calcule o determinante da matriz \( F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 
\\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: O determinante de \( F \) é \( -34 \). 
 
73. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = \frac{3x - 2}{4x + 1} \). 
 Resposta: A inversa de \( f(x) \) é \( f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3 - 4x} \). 
 
74. Problema: Resolva a inequação \( \frac{x - 1}{x^2 + 4x + 3} < 0 \). 
 Resposta: A solução da inequação é \( x \in (-3, -1) \). 
 
75. Problema: Determine a solução do sistema de equações lineares: 
 \[ \begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + 2y + z = 3 \end{cases} \] 
 Resposta: A solução do sistema é \( x = 1 \), \( y = -1 \), e \( z = 2 \). 
 
76. Problema: Calcule a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-
1)^n}{n^3} \). 
 Resposta: A soma da série é \( \frac{\pi^3}{32} \). 
 
77. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \cos(2x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) \). 
 
78. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \). 
 
79. Problema: Resolva a inequação \( \frac{2x - 1}{x^2 - x - 2} \geq 0 \). 
 Resposta: A solução da inequação é \( x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty) \).